Is er een punt (x, y) op de curve y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, waarbij de tangens evenwijdig is aan de x-as?

Antwoord:

Er is geen dergelijk punt, voor zover mijn wiskunde gaat.

Uitleg:

Laten we eerst de omstandigheden van de raaklijn beschouwen als deze parallel is aan de #X#-as. Sinds de #X#-as is horizontaal, elke lijn evenwijdig aan deze moet ook horizontaal zijn; dus volgt hieruit dat de raaklijn horizontaal is. En natuurlijk treden horizontale raaklijnen op wanneer het derivaat gelijk is #0#.

Daarom moeten we eerst beginnen met het vinden van de afgeleide van deze monsterlijke vergelijking, die kan worden bereikt door impliciete differentiatie:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) lnx #

Met behulp van de somregel, kettingregel, productregel, quotiëntregel en algebra hebben we:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) (lnx) + (x + x / y) (lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) (lnx) + (x + x / y) (lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (1 + (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx lnx + + 1 + y) / j #

# -> dy / dx = ((ylnx lnx + + 1 + y) / j) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx lnx + + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wauw … dat was intens. Nu stellen we de afgeleide gelijk aan #0# en zie wat er gebeurt.

# 0 = (y (ylnx lnx + + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx lnx + + 1 + y #

# -Ylnx-y = lnx + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#Y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#Y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# Y = -1 #

Interessant. Laten we nu aansluiten # Y = -1 # en zie waar we voor komen #X#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1/1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Omdat dit een contradictie is, concluderen we dat er geen punten zijn die aan deze voorwaarde voldoen.

Antwoord:

Er bestaat niet zo'n raaklijn.

Uitleg:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Nu aan het bellen #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # wij hebben

#df = f_x dx + f_y dy = (gedeeltelijke u) / (gedeeltelijke x) dx + (gedeeltelijke v) / (gedeeltelijke y) dy = 0 # dan

# dy / dx = - ((gedeeltelijke u) / (gedeeltelijke x)) / ((gedeeltelijke v) / (gedeeltelijke y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

We zien dat # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # maar deze waarden moeten verifiëren:

#f (x, y_0) = 0 # en

#f (x_0, y) = 0 #

In het eerste geval, # y_0 = 1 # wij hebben

# x ^ x = -1 # wat niet haalbaar is in het echte domein.

In het tweede geval # x_0 = e ^ {- 1} # wij hebben

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # of

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

maar

# y / (y + 1) log_e y> -1 # dus ook geen echte oplossing.

Concluderend is er niet zo'n raaklijn.

Antwoord:

Het antwoord van Dr, Cawa K, x = 1 / e, is precies.

Uitleg:

Ik had deze vraag voorgesteld om deze waarde precies te krijgen. Dankzij

Dr, Cawas voor een beslissend antwoord dat de onthulling goedkeurt

de dubbele precisie y 'blijft rond dit interval 0. y is

continu en differentieerbaar bij x = 1 / e. Als zowel de 17-voudige dubbelganger

precisie y en y 'zijn 0, in dit interval rond x = 1 / e, was het een

vermoeden dat de x-as de grafiek daartussen raakt. En nu is het dat

bewezen. Ik denk dat de aanraking transcendentaal is..