Y = f (x) wordt gegeven.Grafiek, y = f (3x) -2 en y = -f (x-1)?

Antwoord:

Heb geen millimeterpapier bij de hand - dus ik hoop dat de beschrijving helpt!

Uitleg:

Voor # Y = f (3x) -2 # eerste knijpen de gegeven grafiek langs de #X# as met een factor 3 (zodat het minimum van de linkerhand bijvoorbeeld opkomt bij # X = -2/3 #) en druk vervolgens op de hele grafiek naar beneden door 2 eenheden. Dus de nieuwe grafiek heeft een minimum van #x = -2 / 3 # met een waarde van # y = -2 #, een maximum bij #(0,0)# en nog een minimum op #(4/3, -4)#

Voor # Y = -f (x-1) # verschuif eerst de grafiek 1 eenheid naar de rechts en draai hem dan ondersteboven! Dus de nieuwe grafiek zal er twee zijn maxima op #(-1,0)# en #(5,2)# en een minimum van #(1,-2) #

Antwoord:

Hier is een meer gedetailleerde uitleg

Uitleg:

De problemen zijn speciale gevallen van een meer algemeen probleem:

Gezien de grafiek voor # Y = f (x) #, wat is de grafiek van #y = a f (b x + c) + d # ?

(de eerste is voor # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, terwijl de tweede er voor is # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Ik zal proberen het antwoord in stappen uit te leggen, door het probleem stap voor stap aan te pakken. Het zal een vrij lang antwoord zijn - maar hopelijk zal het algemene principe aan het einde van het verhaal duidelijk zijn.

Ter illustratie zal ik een bepaalde curve gebruiken die ik hieronder laat zien, maar het idee zal in het algemeen werken.

(Als iemand geïnteresseerd is, is de functie die hier wordt geplot wel #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Gegeven de grafiek voor # Y = f (x) #, wat is de grafiek van #y = f (x) + d # ?

Deze is gemakkelijk - alles wat je hoeft te doen is op te merken dat als # (X, y) # is dan een punt in de eerste grafiek # (X, y + d) # is een punt op de tweede. Dit betekent dat de tweede grafiek hoger is dan de eerste met een afstand # D # (natuurlijk als # D # is negatief, lager dan de eerste grafiek met # | D | #).

Dus de grafiek van # Y = f (x) + 1 # zal zijn

Zoals je kunt zien, de grafiek voor #y = f (x) + 1 # (de effen paarse lijn) wordt verkregen door simpelweg op de grafiek te drukken # Y = f (x) # (de grijze streepjeslijn) omhoog door een eenheid.

De grafiek voor # Y = f (x) -1 # kan gevonden worden door op de originele grafiek te drukken naar beneden per eenheid:

2) Gegeven de grafiek voor # Y = f (x) #, wat is de grafiek van #y = f (x + c) # ?

Het is gemakkelijk om dat te zien als # (X, y) # is een punt op de # Y = f (x) # grafiek, dan # (X-c, y) # zal een punt zijn op de #y = f (x + c) # grafiek. Dit betekent dat je de grafiek van kunt krijgen #y = f (x + c) # uit de grafiek van #y = f (x) # eenvoudig door het naar de links door # C # (natuurlijk als # C # is negatief, je moet de originele grafiek verschuiven met # | C | # naar rechts.

Als voorbeeld de grafiek voor # Y = f (x + 1) # kan gevonden worden door de originele grafiek naar de links per eenheid:

terwijl dat voor # Y = f (x-1) # impliceert het duwen van de originele grafiek naar de rechts per eenheid:

3) Gegeven de grafiek voor # Y = f (x) #, wat is de grafiek van #y = f (bx) # ?

Sinds #f (x) = f (b keer x / b) # hieruit volgt dat als # (X, y) # is een punt op de #y = f (x) # grafiek, dan # (x / b, y) # is een punt op de # Y = f (bx) # grafiek.

Dit betekent dat de originele grafiek moet zijn uitgeknepen met een factor # B # langs de #X# as. Natuurlijk knijpen # B # is echt een stretching door # 1 / b # voor het geval waar # 0 <b <1 #

De grafiek voor # Y = f (2x) # is

Merk op dat terwijl de hoogte gelijk blijft op 1, de breedte met een factor 2 krimpt. Met name de piek van de oorspronkelijke curve is verschoven van # X = 1 # naar # X = 1/2 #.

Aan de andere kant, de grafiek voor # Y = f (x / 2) # is

Merk op dat deze grafiek twee keer zo breed is (knijpen met #1/2# hetzelfde zijn als uitrekken met een factor 2), en de piek is ook verplaatst van # X = 1 # naar # X = 2 #.

Een speciale vermelding moet worden gemaakt van het geval waarin # B # is negatief. Het is misschien beter om dit dan als een proces in twee stappen te beschouwen

• Zoek eerst de grafiek van # Y = f (-x) #, en dan
• knijp de resulterende grafiek in # | B | #

Merk op dat voor elk punt # (X, y) # van de originele grafiek, het punt # (- x, y) # is een punt in de grafiek van # Y = f (-x) # - dus de nieuwe grafiek kan gevonden worden door de oude weer te geven over de Y # # as.

Ter illustratie van het tweestapsproces, bekijk de grafiek van # Y = f (-2x) # hieronder weergegeven:

Hier de originele curve, die voor # Y = f (x) # wordt eerst omgedraaid Y # # as om de curve voor te krijgen # Y = f (-x) # (de dunne cyaanlijn). Dit wordt dan uitgeperst door een factor #2# om de bocht voor te krijgen # Y = f (-2x) # - de dikke paarse curve.

4) Gegeven de grafiek voor # Y = f (x) #, wat is de grafiek van #y = af (x) # ?

Het patroon is hier hetzelfde - als # (X, y) # is dan een punt op de originele curve # (X, ay) # is een punt in de grafiek van # Y = af (x) #

Dit betekent dat voor een positief #een#, de grafiek wordt uitgerekt met een factor #een# langs de Y # # as. Nogmaals, een waarde van #een# tussen 0 en 1 betekent dat in plaats van uitgerekt te worden, de curve feitelijk wordt samengedrukt met een factor # 1 / a # langs de Y # # as.

De onderstaande curve is voor # y = 2f (x) #

Merk op dat terwijl de piek dezelfde waarde heeft van #X# - de hoogte is verdubbeld tot 2 van 1. Natuurlijk is het niet alleen de piek die is uitgerekt - de # Y # coördinaat van elk punt van de oorspronkelijke curve is verdubbeld om de nieuwe curve te krijgen.

De onderstaande figuur illustreert het knijpen dat optreedt wanneer #0<>

Nogmaals, het geval voor #a <0 # neemt speciale aandacht - en het is beter als u dit in twee stappen doet

1. Zet eerst de curve ondersteboven over de #X# as om de curve voor te krijgen # Y = f (x) #
2. Rek de curve uit # | A | # langs de Y # # as.

De curve voor # Y = f (x) # is

terwijl de onderstaande afbeelding de twee stappen illustreert die betrokken zijn bij het tekenen van de curve #y = -2f (x) #

Alles bij elkaar

Nu we de afzonderlijke stappen hebben doorlopen, laten we ze allemaal samenvoegen! De procedure voor het tekenen van de curve voor

# y = a f (bx + c) + d #

beginnend vanaf dat van # Y = f (x) # bestaat in wezen uit de volgende stappen

1. Maak een curve van # Y = f (x + c) #: verschuif de grafiek over een afstand # C # naar links
2. Dan plot dat van #y = f (bx + c) #: knijp in de curve die je krijgt van stap 1 in de #X# richting door de factor # | B | #, (eerst omdraaien over de Y # # as als #b <0 #)
3. Teken dan de grafiek van # Y = af (bx + c) #: schaal de curve die u van stap 2 kreeg naar een factor van #een# in de verticale richting.
4. Druk tenslotte de curve die u in stap 3 hebt verkregen een stukje verder op # D # om het eindresultaat te krijgen.

Natuurlijk moet je alle vier de stappen alleen in extreme gevallen uitvoeren - vaak zullen een kleiner aantal stappen volstaan! Ook is de volgorde van stappen belangrijk.

In het geval dat je je afvraagt, volgen deze stappen uit het feit dat als # (X, y) # is een punt op de # Y = f (x) # grafiek, dan het punt

# ({x-c} / b, ay + d) # is op de # Y = af (bx + c) + d # grafiek.

Laat me het proces illustreren aan de hand van een voorbeeld met onze functie #f (x) #. Laten we proberen de grafiek voor te bouwen #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Ten eerste - de verschuiving naar links met 3 eenheden

Dan: knijp met een factor 2 langs de #X# as

Vervolgens draait u de grafiek om over de #X# as en schaal vervolgens met een factor 2 mee Y # #

Eindelijk, het verschuiven van de curve met 1 eenheid - en we zijn klaar!