Hoe vereenvoudig je root3 (1)?

Antwoord:

#1# of #1^(1/3)# =#1#

Uitleg:

De in blokjes gesneden wortel van 1 is hetzelfde als het verhogen van 1 naar de macht van #1/3#. 1 om de kracht van iets is nog steeds 1.

Antwoord:

Werken in de reals die we krijgen #root 3 {1} = 1 #.

Elk niet-nul complex getal heeft drie kubuswortels, dus daar

#root 3 {1} = 1 of -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Uitleg:

Als we in reële aantallen werken, merken we dat gewoon op #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Ik ga ervan uit dat dit over complexe getallen gaat.

Een van de vreemde dingen die we ontdekken als we in complexe getallen duiken, is dat de functie #f (z) = e ^ {z} # is periodiek. Exponentiële groei is een beetje het tegenovergestelde van periodiek, dus dit is een verrassing.

Het belangrijkste feit is de identiteit van Euler in het kwadraat. ik noem het Euler's True Identity.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Euler's True Identity shows # E ^ z # is periodiek met periode # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

We kunnen Euler's True Identity verhogen tot een geheel getal # K #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Wat heeft dit allemaal te maken met de kubuswortel van een? Het is de sleutel. Het vertelt dat er een ontelbaar oneindig aantal manieren is om er een te schrijven. Sommigen van hen hebben andere kubuswortels dan andere. Het is waarom niet-integer exponenten aanleiding geven tot meerdere waarden.

Dat is allemaal een grote windup. Meestal begin ik deze gewoon door te schrijven:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # voor integer # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

De laatste stap is natuurlijk de formule van Euler # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Omdat we de hebben # 2pi # periodiciteit van de trig functies (die volgt uit de periodiciteit van de exponentiële en Euler's Formula) we hebben alleen unieke waarden voor drie opeenvolgende # K #s. Laten we dit evalueren # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Dus we krijgen drie waarden voor de kubuswortel van één:

#root 3 {1} = 1 of -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #