Hoe bewijs je dat sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Antwoord:

Doe wat geconjugeerde vermenigvuldiging, gebruik trig-identiteiten en vereenvoudig. Zie hieronder.

Uitleg:

Herinner de Pythagorische identiteit # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 #. Verdeel beide kanten door # Cos ^ 2x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

We zullen gebruik maken van deze belangrijke identiteit.

Laten we ons concentreren op deze uitdrukking:

# Secx + 1 #

Merk op dat dit equivalent is aan # (Secx + 1) / 1 #. Vermenigvuldig de boven- en onderkant met # Secx-1 # (deze techniek staat bekend als geconjugeerde vermenigvuldiging):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2 x-1) / (secx-1) #

Van # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, we zien dat # Tan ^ 2x = s ^ 2x-1 #. Daarom kunnen we de teller vervangen door # Tan ^ 2x #:

# (Tan ^ 2x) / (secx-1) #

Ons probleem luidt nu:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

We hebben een gemeenschappelijke deler, dus we kunnen de breuken aan de linkerkant toevoegen:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

De raaklijnen annuleren:

# (Annuleren (tan ^ 2x) + 1 annuleerknop (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

We verlaten ons met:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Sinds # Secx = 1 / cosx #, we kunnen dit herschrijven als:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Door breuken toe te voegen aan de noemer, zien we:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

De eigenschap gebruiken # 1 / (a / b) = b / a #, wij hebben:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

En daarmee is het bewijs voltooid.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (Sec-1 ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (rood) ("zetten", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (rood) ("zetten", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #