Hoe vind je de absolute maximum en absolute minimumwaarden van f op het gegeven interval: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) op [-1, 5]?

Antwoord:

Reqd. extreme waarden zijn # -25 / 2 en 25/2 #.

Uitleg:

We gebruiken vervanging # t = 5sinx, t in -1,5 #.

Merk op dat deze vervanging toelaatbaar is, omdat

# t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, wat goed blijft, als bereik van #zonde# pret. is #-1,1#.

Nu, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Sinds, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Daarom, reqd. ledematen zijn # -25 / 2 en 25/2 #.

Antwoord:

Zoek de monotonie van de functie uit het teken van de afgeleide en beslis welk lokaal maximum / minimum de grootste en kleinste is.

Absoluut maximum is:

#f (3,536) = 12.5 #

Het absolute minimum is:

#f (-1) = - 4.899 #

Uitleg:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

De afgeleide van de functie:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) 2-^ t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• De teller heeft twee oplossingen:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3.536 #

  Daarom is de teller:

  Negatief voor #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positief voor #t in (-3.536,3.536) #

• De noemer is altijd positief in # RR #, omdat het een vierkantswortel is.

  Ten slotte is het opgegeven bereik #-1,5#

Daarom is de afgeleide van de functie:

- Negatief voor #t in -1,3.536) #

- Positief voor #t in (3.536,5) #

Dit betekent dat de grafiek eerst omhoog gaat #f (-1) # naar #f (3.536) # en gaat dan naar beneden #f (5) #. Dit maakt #f (3.536) # het absolute maximum en de grootste waarde van #f (-1) # en #f (5) # is het absolute minimum.

Absoluut maximum is #f (3.536) #:

#f (3,536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12,5 #

Voor het absolute maximum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

daarom #f (-1) = - 4.899 # is het absolute minimum.

U kunt in onderstaande grafiek zien dat dit waar is. Negeer gewoon het gebied links van #-1# omdat het buiten het domein is:

grafiek {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}