Antwoord:
Hier al beantwoord.
Uitleg:
Je moet eerst vinden # Sin18 ^ @ #, waarvoor de details hier beschikbaar zijn.
Dan kun je krijgen # Cos36 ^ @ # zoals hier getoond.
Antwoord:
We lossen op #cos (2 theta) = cos (3 theta) # of # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # voor # x = cos 144 ^ circ # en krijg #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Uitleg:
We krijgen #cos 36 ^ circ # mild indirect uit de formule met dubbele en drievoudige hoek voor cosinus. Het is best gaaf hoe het gedaan is en heeft een verrassingseinde.
We zullen ons concentreren op #cos 72 ^ circ #. De engel # Theta = 72 ^ circ # voldoet
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Laten we dat oplossen # Theta #, herinnerend aan #cos x = cos a # heeft oplossingen #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # of # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Dat omvat de # 360 ^ circ k # dus we kunnen het "of" gedeelte laten vallen.
Ik schrijf hier geen mysterie (ondanks het verrassingseind) dus ik zal dat vermelden #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # is ook een geldige oplossing en we zien hoe het verband houdt met de vraag.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Nu laat # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Wij weten # x = cos (0 keer 72 ^ circ) = 1 # is een oplossing dus # (X-1) # is een factor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Het kwadratische heeft wortels
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
De positieve moet zijn #cos 72 ^ circ # en de negatieve #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Dat is het antwoord. De verrassing is dat het de helft van de Gulden snede is!
