Hoe vind ik de integrale int (x * cos (5x)) dx?

We zullen de formule voor integratie door delen in gedachten houden, wat is:

#int u dv = uv - int v du #

Om deze integraal succesvol te vinden zullen we het laten #u = x #, en #dv = cos 5x dx #. daarom #du = dx # en #v = 1/5 sin 5x #. (# V # is snel te vinden # U #substitutie)

De reden die ik heb gekozen #X# voor de waarde van # U # is omdat ik weet dat ik later zal integreren # V # vermenigvuldigd met # U #de afgeleide. Sinds de afgeleide van # U # is gewoon #1#, en omdat het integreren van een trig-functie op zich het niet ingewikkelder maakt, hebben we de. effectief verwijderd #X# van de integrand en hoef je je alleen maar zorgen te maken om de sinus.

Dus, aansluitend op de formule van de IBP, krijgen we:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Trekken van de #1/5# uit de integrand geeft ons:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Het integreren van de sinus duurt slechts een # U #substitutie. Omdat we al hebben gebruikt # U # voor de formule van de IBP gebruik ik de brief # Q # in plaats daarvan:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Om een te krijgen # 5 dx # in de integrand vermenigvuldig ik de integraal door een andere #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

En, alles vervangen in termen van # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

We weten dat de integraal van #zonde# is # -Cos #, dus we kunnen deze integraal eenvoudig afsluiten. Denk aan de constante van integratie:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Nu zullen we gewoon teruggaan # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

En daar is onze integraal.