Hoe vind ik de integrale int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Integratie door delen gebruiken,

# INTX ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Onthoud dat Integratie door delen de formule gebruikt:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

Welke is gebaseerd op de productregel voor derivaten:

#uv = vdu + udv #

Om deze formule te gebruiken, moeten we beslissen welke termijn zal zijn # U #, en welke zal zijn # Dv #. Een handige manier om erachter te komen welke term waar gaat is de IK LAAT methode.

Inverse Trig

logaritmen

Algebra

remschoen

Exponentials

Dit geeft u een prioriteitsvolgorde van welke term wordt gebruikt voor "# U #", dus alles wat overblijft wordt ons # Dv #. Onze functie bevat een # X ^ 2 # en een # Sinpix #, dus de ILATE-methode vertelt ons dat # X ^ 2 # moet worden gebruikt als onze # U #, omdat het algebraïsch en hoger op de lijst staat dan # Sinpix #, dat is trig.

We hebben nu:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

De volgende items die we nodig hebben in de formule zijn "# Du #"en"# V #", die we krijgen door de afgeleide van"# U #"en de integraal van"# Dv #'.

Het derivaat wordt verkregen met behulp van de machtsregel:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Voor de integraal kunnen we substitutie gebruiken.

gebruik makend van #w = pix #, we eindigen met # (- 1 / pi) cosw #

We hebben nu:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Aansluitend bij onze oorspronkelijke Integration by Parts-formule hebben we:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

We hebben nu een andere integraal waarvan we wederom Integration by Parts moeten gebruiken om dit op te lossen. Door aan de #2# uit de integraal blijven we over #u = x #, #dv = cospix #. Door hetzelfde proces van voordien te doorlopen, krijgen we:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Deze laatste integraal kunnen we oplossen met een laatste vervangingsronde, waardoor we:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Alles wat we samen hebben gevonden, hebben we nu:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Nu kunnen we de negatieven en haakjes vereenvoudigen om ons definitieve antwoord te krijgen:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

De sleutel is om te onthouden dat je eindigt met een keten van meerdere termen die worden toegevoegd of afgetrokken. Je splitst de integraal continu in kleinere, overzichtelijke delen die je moet bijhouden voor het uiteindelijke antwoord.