Wat is de eenheidsvector die normaal is voor het vlak dat (2i - 3 j + k) en (2i + j - 3k) bevat?

Antwoord:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #

Uitleg:

Een vector die normaal is (orthogonaal, loodrecht) op een vlak dat twee vectoren bevat, is ook normaal voor beide van de gegeven vectoren. We kunnen de normale vector vinden door het kruisproduct van de twee gegeven vectoren te nemen. We kunnen dan een eenheidsvector vinden in dezelfde richting als die vector.

Schrijf eerst elke vector in vectorvorm:

# Veca = <2, -3,1> #

# Vecb = <2,1, -3> #

Het kruisproduct, # Vecaxxvecb # wordt gevonden door:

# Vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, Veck), (2, 3,1), (2,1, -3)) #

Voor de ik component, we hebben:

#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#

Voor de j component, we hebben:

#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#

Voor de k component, we hebben:

#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#

daarom # Vecn = <8,8,8> #

Om dit een eenheidsvector te maken, verdelen we de vector door zijn grootte. De omvang wordt gegeven door:

# | Vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #

De eenheidsvector wordt dan gegeven door:

# Vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #

# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #

Door de noemer te rationaliseren, krijgen we:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #