Wat is de juiste optie uit de gegeven vraag? ps - Ik kreeg 98 als antwoord, maar het is niet correct (? idk misschien is het gegeven antwoord aan de achterkant verkeerd, je kunt ook mijn oplossing zien en opnieuw controleren, ik heb de oplossing onder de vraag bijgevoegd)

Antwoord:

#98# is het juiste antwoord.

Uitleg:

Gegeven:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Dividing by #4# we vinden:

# X ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Zo:

# {(alpha + beta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Zo:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (white) (49/16) = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (wit) (49/16) = alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

en:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (white) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) #

#color (wit) (7/8) = alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

Zo:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (white) (49/128) = (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (wit) (49/128) = alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Zo:

# alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4) / (alphabetagamma) ^ 4 #

#color (wit) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (wit) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (wit) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Antwoord:

#98#

Uitleg:

Als alternatief, houd er als extra controle rekening mee dat de wortels van:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

zijn de reciprocals van de wortels van:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Dus we kunnen vinden # Alpha ^ 4 ^ 4 + P + y ^ 4 # voor de wortels van deze kubieke om te berekenen #alpha ^ (- 4) + P ^ (- 4) + y ^ (- 4) # voor de wortels van de oorspronkelijke kubieke.

Gegeven:

# X ^ 3 + 0x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

We vinden:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):} #

Zo:

# Alpha ^ 2 + beta + gamma ^ 2 ^ 2 #

# = (alfa + bèta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# Alpha ^ 2beta ^ 2 + p ^ 2gamma ^ 2 + y ^ 2 ^ 2alpha #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + beta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# Alpha ^ 4 ^ 4 + P + y ^ 4 #

# = (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #