U_1, u_2, u_3, ... staan in Geometric progression (GP). De gemeenschappelijke ratio van de termen in de reeks is K. Bepaal nu de som van de reeksen u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) in de vorm van K en u_1?

Antwoord:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Uitleg:

De algemene looptijd van een meetkundige reeks kan worden geschreven:

#a_k = a r ^ (k-1) #

waar #een# is de beginterm en # R # de gemeenschappelijke ratio.

De som voor # N # termen worden gegeven door de formule:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#kleur wit)()#

Met de informatie in de vraag, de algemene formule voor # U_k # kan worden geschreven:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Let daar op:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Zo:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (wit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # waar # A = U_1 ^ 2K # en #r = K ^ 2 #

#color (wit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (wit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #