Wat is de omtrek van een gewone achthoek met een straal van lengte 20?

Antwoord:

Het hangt er van af:

Als de innerlijke straal is #20#, dan is de perimeter:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Als de buitenstraal is #20#, dan is de perimeter:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Uitleg:

Hier omschrijft de rode cirkel de buitenste straal en de groene cirkel de binnenste cirkel.

Laat # R # wees de buitenstraal - dat is de straal van de rode cirkel.

Daarna richtten de hoekpunten van de octagon zich op #(0, 0)# zijn bij:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

De lengte van één zijde is de afstand tussen # (r, 0) # en # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Dus de totale omtrek is:

#color (rood) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Dus als de buitenste straal is #20#, dan is de perimeter:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#kleur wit)()#

De innerlijke straal zal zijn # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Zo #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Dan is de totale omtrek

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Kleur (groen) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Dus als de innerlijke straal is #20#, dan is de perimeter:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#kleur wit)()#

Hoe goed een benadering voor #pi# geeft dit ons?

Terwijl we hier zijn, welke benadering voor #pi# krijgen we door middel van het middelen van de binnenste en buitenste radii?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… dus niet geweldig.

Om een zo goed mogelijke benadering te krijgen als #355/113 ~~ 3.1415929#, gebruikte de Chinese wiskundige Zu Chongzhi een #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) dubbelzijdige veelhoek en telstaven.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi