Waarom krijgen we een positief geheel getal bij het vermenigvuldigen van twee negatieve gehele getallen?

Antwoord:

Gebruik distributiviteit van vermenigvuldigen ten opzichte van optellen en andere eigenschappen van rekenkunde om aan te tonen …

Uitleg:

Toevoeging en vermenigvuldiging van gehele getallen hebben verschillende eigenschappen, bekend als axioma's. Ik zal de steno gebruiken # AA # "voor iedereen", # EE # "Er bestaat", #:# "zodanig dat" als volgt:

Er is een additieve identiteit #0#:

#EE 0: AA a "" a + 0 = 0 + a = a #

Optelling is commutatief:

#AA a, b "" a + b = b + a #

Toevoeging is associatief:

#AA a, b, c "" (a + b) + c = a + (b + c) #

Alle gehele getallen hebben een inverse onder toevoeging:

#AA a EE b: a + b = b + a = 0 #

Er is een multiplicatieve identiteit #1#:

#EE 1: AA a "" a * 1 = 1 * a = a #

Vermenigvuldiging is commutatief:

#AA a, b "" a * b = b * a #

Vermenigvuldiging is associatief:

#AA a, b, c "" (a * b) * c = a * (b * c) #

Vermenigvuldiging is links en rechts verdeeld over toevoeging:

#AA a, b, c "" a * (b + c) = (a * b) + (a * c) #

#AA a, b, c "" (a + b) * c = (a * c) + (b * c) #

We gebruiken de notatie #-een# om het additieve inverse van te vertegenwoordigen #een# en de notatie # A-b # als een afkorting voor #A + (- b) #.

Merk op dat associativiteit van optellen betekent dat we ondubbelzinnig kunnen schrijven:

# A + b + c #

Met behulp van de PEMDAS-conventie dat optellen en aftrekken van links naar rechts wordt uitgevoerd, kunnen we voorkomen dat we wat meer haakjes schrijven, maar de dingen ondubbelzinnig houden.

Dan vinden we:

# (- a) (- b) = (-a) (- b) + 0 #

#color (wit) ((- a) (- b)) = (-a) (- b) + (- ab) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) -ab) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + 0-ab) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b) - (a) (- b) -ab) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b)) - ((a) (- b) + ab)) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ((-a) + a) (- b) - (a) ((- b) + b)) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = (0 * (- b)) - (a * 0) + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = 0-0 + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = 0 + ab #

#color (wit) ((- a) (- b)) = ab #

Dus indien #a, b # zijn positief en je bent tevreden dat # Ab # is ook positief # (- a) * (- b) = ab # is ook positief.