Hoe kan ik deze differentiaalvergelijking oplossen?

Antwoord:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Uitleg:

Dit is een scheidbare differentiaalvergelijking, wat eenvoudig betekent dat het mogelijk is om het te groeperen #X# voorwaarden & # Y # termen aan weerszijden van de vergelijking. Dit is wat we eerst zullen doen:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Nu willen we krijgen dy aan de kant met de y's, en dx aan de kant met de x's. We moeten een beetje herschikken:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Nu integreren we beide kanten:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Laten we elke integraal op zijn beurt doen:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Laten we dit eerst opsplitsen in 2 afzonderlijke integralen door de regel optellen / aftrekken:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Deze zien er nogal vervelend uit. We kunnen ze echter een beetje een make-over geven om ze er leuker uit te laten zien (en veel gemakkelijker op te lossen):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Beide zijn nu eenvoudig # U #substitutiegranen. Als je instelt #u = -x # en # -3x # respectievelijk krijg je het antwoord als:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Als we de negatieve exponent positief maken, krijgen we:

#int (ye ^ y) dy #

Hiervoor moeten we integratie door delen gebruiken. De formule is:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

We gaan zetten #u = y #, en #dv = e ^ y dy #. De reden is dat we een gemakkelijke willen # Du # voor die uiteindelijke integratie, en ook omdat # E ^ y # is heel gemakkelijk te integreren.

Zo:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Nu pluggen en chuggen we:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Alles weer terug:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Negatieve exponenten verwijderen:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

En dat is een behoorlijk fatsoenlijk eindantwoord. Als je wilde oplossen # Y #, je zou kunnen, en je zou eindigen met

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Merk op dat we geen a hebben # + C # op de LHS van deze vergelijking. De reden hiervoor is dat, zelfs als we het zouden doen, we het uiteindelijk van de RHS zouden aftrekken, en een willekeurige constante minus een willekeurige constante nog steeds (wacht erop) een willekeurige constante is. Vandaar dat voor deze problemen, zolang u uw hebt # + C # aan elke kant van de vergelijking komt alles goed.

Hoop dat het geholpen heeft:)