Voor welke waarden van x is f (x) = x-x ^ 2e ^ -x concaaf of convex?

Antwoord:

Zoek de tweede afgeleide en controleer het teken. Het is bol als het positief en hol is als het negatief is.

Concave voor:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convex voor:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Uitleg:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Eerste afgeleide:

#f '(x) = 1 (2XE -x ^ + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe -x ^ + x ^ 2e ^ -x #

Nemen # E ^ -x # als een gemeenschappelijke factor om het volgende derivaat te vereenvoudigen:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Tweede afgeleide:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2 x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Nu moeten we het teken bestuderen. We kunnen van teken wisselen om het kwadratische probleem eenvoudig op te lossen:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Om het kwadratische een product te maken:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

daarom:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Een waarde van #X# tussen deze twee oplossingen geeft een negatief kwadratisch teken, terwijl elke andere waarde van #X# maakt het positief.
• Elke waarde van #X# merken # E ^ -x # positief.
• Het negatieve teken aan het begin van de functie keert alle tekens om.

daarom #f '' (x) # is:

Positief, daarom concaaf voor:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatief, daarom convex voor:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #