Voor welke waarden van x is f (x) = (- 2x) / (x-1) concaaf of convex?

Antwoord:

Bestudeer het teken van het tweede derivaat.

Voor #x <1 # de functie is concaaf.

Voor #x> 1 # de functie is convex.

Uitleg:

Je moet de kromming bestuderen door de 2e afgeleide te vinden.

#f (x) = - 2 x / (x-1) #

De 1e afgeleide:

#f '(x) = - 2 ((x) (x-1) -x (x-1)) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

De tweede afgeleide:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) "#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) "#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Nu het teken van #f '' (x) # moet worden bestudeerd. De noemer is positief wanneer:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (X-1) ^ 3 <0 #

# (X-1) ^ 3 <3 ^ 0 #

# X-1 <0 #

#x <1 #

Voor #x <1 # de functie is concaaf.

Voor #x> 1 # de functie is convex.

Notitie: het punt # X = 1 # was uitgesloten vanwege de functie #f (x) # kan niet worden gedefinieerd voor # X = 1 #, omdat de denumirator 0 zou worden.

Hier is een grafiek zodat je het met je ogen kunt zien:

grafiek {(- 2x) / (x-1) -14.08, 17.95, -7.36, 8.66}