Vraag 39 oplossen?

Antwoord:

B

Uitleg:

Ten eerste moeten we gebruik maken van het feit dat de nummers opeenvolgend moeten zijn, door de nummers te bellen die we kiezen te zijn # N-1, n, n + 1 #, waar als we ons houden aan de beperkingen # N # moet tussen #-9# en #9# inclusive.

Ten tweede, merk op dat als we een bepaalde waarde voor een specifiek krijgen #abc#, we kunnen die specifieke waarden omwisselen, maar toch hetzelfde resultaat krijgen. (Ik geloof dat dit wordt aangeduid als zijnde permutabel maar vergeet de juiste term)

Dus we kunnen het gewoon laten # A = n-1 #,B = # n #,# C = n + 1 #, nu pluggen we dit in:

# (A ^ 3 ^ 3 + b + c ^ 3 + 3ABC) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ n ^ 3 + 3 + 2 + 3n ^ 3n + 1 + 3n (n ^ 01/02)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ n ^ 3 + 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (^ 2 9n) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (^ 2 9n) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Nu wordt ons probleem om te zien voor welke waarden van # -9 <= n <= 9 # de uitdrukking geeft een geheel getal, hoeveel verschillende waarden we krijgen.

Ik ga de oplossing voortzetten in een afzonderlijk antwoord om het gemakkelijker te kunnen lezen.

Antwoord:

Deel 2 van mijn sol'n. Dit zal modulair rekenen gebruiken, maar als je het niet kent, is er altijd de mogelijkheid om alle noodzakelijke waarden van # N #

Uitleg:

Omdat de expressie een geheel getal moet zijn, moet de onderkant de top exact verdelen. Dus, de teller zou een factor 3 moeten hebben. Hiervoor zouden we modulaire rekenkunde moeten gebruiken.

Onderzoek voor welke n voldoet aan: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Nu casework:

1. We proberen het # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, wat niet werkt

2. We proberen het # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 2 + ^ 27k 27k + 1 + 3 k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, wat werkt

3. We proberen het # N = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k 3-27k ^ ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, wat niet werkt

Dus dat leiden we af # N # moet van het formulier zijn # 3k + 1 #, of één meer dan een veelvoud van 3. Gezien ons bereik voor n, zijn # -9 <= n <= 9 #, we hebben de mogelijke waarden van:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Op dit punt kun je misschien het feit dat gebruiken # N = 3k + 1 #, maar met slechts 6 waarden om te controleren, heb ik besloten om in plaats daarvan elke waarde te berekenen, en de enige waarde voor # N # dat werkt is # N = 1 #, het resultaat van produceren #1#.

Dus uiteindelijk is de enige reeks opeenvolgende getallen die een geheel getalresultaat oplevert #0,1,2#, geven #1# vandaar het antwoord is # B #