Wat is de beste manier om sqrt (13) te vinden zonder een rekenmachine te gebruiken?

Antwoord:

Ik zou de methode van Newton aanbevelen, hoewel ik niet bereid ben te beweren dat het gemakkelijker is dan gokken en controleren, en pas dan de schatting aan.

Uitleg:

De Newton-methode is een iteratieve benaderingsmethode. (Het werkt vanwege calculus, maar deze vraag is geplaatst in Algebra, dus laten we dat met rust laten.)

Maak een eerste schatting. Zeg bijvoorbeeld in uw voorbeeld # x_1 = 3 #

De volgende benadering is: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Met andere woorden, deel #13# volgens de huidige benadering en het gemiddelde dat met uw laatste benadering.

Weten # X_n #, we vinden #x_ (n + 1) # door:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Dus we krijgen: # x_1 = 3 #

Vinden # X_2 #:

#13/3 = 4.33#

Het gemiddelde van onze huidige benadering, #3# en het quotiënt #4.33# is #3.67#

Zo # x_2 = 3.67 #

Vinden # X_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

Het gemiddelde van onze huidige benadering, #3.67# en het quotiënt #3.54# is #3.61#

Zo # x_3 = 3.61 #

Ja, het was vervelend om berekeningen te maken.

Antwoord:

Er is een (misschien niet goed bekende) methode om de vierkantswortel te vinden van een getal dat ik hieronder heb geprobeerd aan te tonen.

Uitleg:

Begin alsof je een lange divisie opzet (maar let op de afwezigheid van een deler). Het aantal is verdeeld in blokken van 2 cijfers met zoveel paren nullen achter de komma als u wilt schrijven. De komma moet direct boven de komma worden geschreven van het nummer waarvoor u de vierkantswortel probeert te vinden (ik schijn de mijne te zijn verloren).

Bepaal het grootste cijfer waarvan het vierkant niet groter is dan het eerste cijferpaar van de waarde waarmee u werkt en voer ze in zoals hieronder aangegeven

Vermenigvuldig het getal boven de regel met het cijfer links van de verticale lijn en trek dit product af van de waarde erboven.

Kopieer het volgende paar cijfers als achtervoegsel naar de vorige rest.

Verdubbel de waarde boven de regel en laat een suffixcijfer toe (dus in dit geval wordt 3 iets tussen 60 en 69, nog te bepalen).

Bepaal het grootste cijfer dat bij gebruik als het achtervoegsel aan de linkerkant en vervolgens voor het vermenigvuldigen van de resulterende waarde niet groter is dan de werkwaarde (in dit geval niet groter dan 400).

Vermenigvuldig, trek af, haal het volgende cijferpaar naar beneden.

Verdubbel de waarde vanaf de bovenkant en schrijf met ruimte voor een achtervoegsel aan de linkerkant van het werkgebied.

Vervolg het proces zoals hieronder aangegeven:

alsjeblieft; als iemand een eenvoudiger uitleg kan geven over hoe dit proces werkt, doe dat dan.

Antwoord:

In plaats van een lange opmerking te schrijven naar Jim's, hier is 'een ander' antwoord.

Vinden #sqrt (n) #, herhaal uw benaderingen met behulp van:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Uitleg:

Ik gebruik dit meestal met 'ongepaste' breuken om een reeks benaderingen af te leiden, te stoppen wanneer ik denk dat ik genoeg significante cijfers heb, en dan de resulterende gehele getallen lang te verdelen.

Als alternatief, als ik alleen de vierkantswortel naar 4 significante cijfers of zo wil, begin ik met een redelijke 2-cijferige benadering en voer ik een of twee stappen uit.

Ik probeer de vierkanten van te onthouden #2# cijfers ook. Dus in het geval van #13# Ik zou dat moeten onthouden #36^2 = 1296# is vrij dicht bij #1300#, dus #36# maakt een goede benadering #sqrt (1300) #.

De volgende benadering zou zijn #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Vandaar #sqrt (13) ~ = 3.6056 #