Bewijs dat N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) is een geheel getal?

Antwoord:

Overwegen # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Dit heeft één echte root die dat is #6# alias # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Uitleg:

Overweeg de vergelijking:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Gebruik de methode van Cardano om het op te lossen, laat #t = u + v #

Dan:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Om de term in te trekken # (U + v) #, voeg de beperking toe # Uv = 7 #

Dan:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Vermenigvuldigen door met U ^ # 3 # en herschikken om het kwadratische binnen te krijgen U ^ # 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

door de kwadratische formule heeft dit wortels:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (wit) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (wit) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (wit) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Omdat dit echt is en de afleiding symmetrisch was # U # en # V #, we kunnen een van deze wortels gebruiken voor U ^ # 3 # en de andere voor # V ^ 3 # om te concluderen dat de echte nul van # T ^ 3-21t-90 # is:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

maar we vinden:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Dus de echte nul van # T ^ 3-21t-90 # is #6#

Zo # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#kleur wit)()#

Voetnoot

Om de kubieke vergelijking te vinden, gebruikte ik de Cardano-methode achterstevoren.

Antwoord:

#N = 6 #

Uitleg:

maken #x = 45 + 29 sqrt (2) # en #y = 45-29 sqrt (2) # dan

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

zo

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

of bellen #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # wij hebben

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

met # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # en #z = 6 # is een wortel dus

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #