Is sqrt21 reëel getal, rationeel getal, geheel getal, geheel getal, irrationaal getal?

Antwoord:

Het is een irrationeel getal en daarom echt.

Uitleg:

Laten we dat eerst bewijzen #sqrt (21) # is een reëel getal, in feite is de vierkantswortel van alle positieve reële getallen reëel. Als #X# is een reëel getal, dan definiëren we voor de positieve cijfers #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Dit betekent dat we naar alle reële cijfers kijken # Y # zoals dat # Y ^ 2 <= x # en neem het kleinste reële aantal dat groter is dan al deze # Y #is de zogenaamde supremum. Voor negatieve getallen, deze # Y #'s bestaan niet, omdat voor alle reële getallen het nemen van het kwadraat van dit getal resulteert in een positief getal en alle positieve getallen groter zijn dan negatieve getallen.

Voor alle positieve cijfers is er altijd wat # Y # dat past bij de conditie # Y ^ 2 <= x #namelijk #0#. Bovendien is er een bovengrens aan deze aantallen, namelijk # X + 1 #, sinds wanneer # 0 <y <1 #, dan # X + 1> y #, als #Y> = 1 #, dan #Y <= y ^ 2 <= x #, dus # X + 1> y #. We kunnen aantonen dat er voor elke begrensde niet-lege verzameling van reële getallen altijd een uniek reëel getal bestaat dat als supremum fungeert, vanwege de zogenaamde volledigheid van # RR #. Dus voor alle positieve reële cijfers #X# er is een real #sqrt (x) #. We kunnen dat ook in dit geval laten zien #sqrt (x) ^ 2 = x #, maar tenzij je dat wilt, zal ik dit hier niet bewijzen. Ten slotte merken we dat op #sqrt (x)> = 0 #, sinds #0# is een nummer dat bij de conditie past, zoals eerder vermeld.

Nu voor de irrationaliteit van #sqrt (21) #. Als het niet irrationeel (dus rationeel) was, zouden we het kunnen schrijven als #sqrt (21) = a / b # met #een# en # B # hele getallen en # A / b # zo veel mogelijk vereenvoudigd, wat betekent dat #een# en # B # heb geen gemeenschappelijke deler, behalve voor #1#. Dit betekent dat # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Nu gebruiken we iets dat de primaire ontbinding van de natuurlijke getallen wordt genoemd. Dit betekent dat we elk positief geheel getal kunnen noteren als een uniek product van priemgetallen. Voor #21# dit is #3*7# en voor #een# en # B # dit is een willekeurig product van prime-lenzen # A = a_1 * … * a_n # en # B = b_1 * … * b_m #. Het feit dat de enige gemeenschappelijke deler van #een# en # B # is #1# komt overeen met het feit dat #een# en # B # deel geen priemgetallen in hun ontbinding, zo zijn er # A_i # en # B_j # zoals dat # A_i = b_j #. Dit betekent dat # A ^ 2 # en # B ^ 2 # deel ook geen prime-lenzen, sinds # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # en # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., daarom de enige gemeenschappelijke deler van # A ^ 2 # en # B ^ 2 # is #1#. Sinds # A ^ 2 ^ 2 = 21b #, dit betekent # B ^ 2 = 1 #, dus # B = 1 #. daarom #sqrt (21) = a #. Merk op dat dit alleen geldt in de veronderstelling dat #sqrt (21) # is rationeel.

Nu kunnen we natuurlijk alle hele positieve cijfers doorlopen die kleiner zijn dan #21# en controleer of squaring ze geeft #21#, maar dit is een saaie methode. Om het op een interessantere manier te doen, keren we opnieuw naar onze priemgetallen. We weten dat # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # en #21=3*7#, dus # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Aan de linkerkant komt elke prime slechts één keer voor, aan de rechterkant, elke prime komt minstens tweemaal voor, en altijd een even aantal keren (als # A_1 = a_n # het zou voor instace minstens vier keer voorkomen). Maar zoals we hebben aangegeven, deze prime-factoren zijn uniek, dus dit kan niet kloppen. daarom # 21nea ^ 2 #, dus #anesqrt (21) #, wat betekent dat onze eerdere aanname van #sqrt (21) # rationeel zijn blijkt dus niet te kloppen #sqrt (21) # is irrationeel.

Merk op dat hetzelfde argument geldt voor elk positief geheel getal #X# met een priemfactorisatie waarbij een van de priemgetallen een oneven aantal keren verschijnt, omdat het kwadraat van een geheel getal altijd al zijn priemfactoren voor een even aantal keren vertoont. Hieruit concluderen we dat als #X# is een positief geheel getal (#x inNN #) heeft een primaire factor die slechts een ongelijk aantal keren voorkomt, #sqrt (x) # zal irrationeel zijn.

Ik ben me ervan bewust dat dit bewijs een beetje lang lijkt, maar het gebruikt belangrijke concepten uit de wiskunde. Waarschijnlijk in een middelbare school curriculum, zijn dit soort redeneringen niet inbegrepen (ik ben niet 100% zeker, ik weet niet het curriculum van elke middelbare school in de wereld), maar voor echte wiskundigen, het bewijzen van dingen is een van de belangrijkste activiteiten die ze doen. Daarom wilde ik je laten zien wat voor soort wiskunde er is om de wortel van de dingen te nemen. Wat je nodig hebt om hier afstand van te nemen, is dat inderdaad #sqrt (21) # is een irrationeel nummer.