Hoe vind je de extrema voor g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Antwoord:

#G (x) # heeft geen maximum en een globaal en lokaal minimum in # X = -1 #

Uitleg:

Let daar op:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Dus de functie

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

is gedefinieerd voor elke #x in RR #.

Naast als #f (y) = sqrty # is een monotoon toenemende functie, dan is er een extremum voor #G (x) # is ook een extreem voor:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Maar dit is een polynoom van de tweede orde met een leidende positieve coëfficiënt, daarom heeft het geen maximum en een enkel lokaal minimum.

Van #(1)# we kunnen dat gemakkelijk zien als:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

en:

# X + 1 = 0 #

alleen wanneer # X = -1 #, dan:

#f (x)> = 4 #

en

#f (x) = 4 #

alleen voor # X = -1 #.

Bijgevolg:

#g (x)> = 2 #

en:

#g (x) = 2 #

alleen voor # X = -1 #.

We kunnen dat concluderen #G (x) # heeft geen maximum en een globaal en lokaal minimum in # X = -1 #

#G (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, #X##in## RR #

Wij hebben nodig # X ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ##X##in## RR #:

#G '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (X + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#G '(x) = 0 # #<=># # (X = -1) #

• Voor #x <-1 # wij hebben #G '(x) <0 # zo # G # vermindert strikt in # (- oo, -1 #

• Voor #x> ##-1# wij hebben #G '(x)> 0 # zo # G # neemt in strikt toe # - 1, + oo) #

Vandaar #G (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ##X##in## RR #

Als gevolg # G # heeft een globaal minimum op # X_0 = -1 #, #G (-1) = 2 #