Wat zijn de asymptote (s) en hole (s), indien aanwezig, van f (x) = xsin (1 / x)?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Wel, er is duidelijk een gat in # X = 0 #, sinds divisie door #0# is niet mogelijk.

We kunnen de functie in een grafiek weergeven:

grafiek {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Er zijn geen andere asymptoten of gaten.

Antwoord:

#f (x) # heeft een gat (verwijderbare discontinuïteit) bij # X = 0 #.

Het heeft ook een horizontale asymptoot # Y = 1 #.

Het heeft geen verticale of schuine asymptoten.

Uitleg:

Gegeven:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Ik zal een paar eigenschappen van gebruiken #sin (t) #, namelijk:

• #abs (sin t) <= 1 "" # voor alle echte waarden van # T #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # voor alle waarden van # T #.

Merk dat eerst op #f (x) # is een even functie:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

We vinden:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Zo:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Omdat dit is #0#zo is het ook #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Ook sindsdien #f (x) # is zelfs:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Let daar op #f (0) # is undefined, omdat het betrekking heeft op delen door #0#, maar zowel de linker- als de rechterlimiet zijn aanwezig en komen overeen # X = 0 #, dus het heeft daar een gat (verwijderbare discontinuïteit).

We vinden ook:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Op dezelfde manier:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Zo #f (x) # heeft een horizontale asymptoot # Y = 1 #

grafiek {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}