Simulatie van S_ (k + 1) volledig. Bedankt?!!

Antwoord:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Uitleg:

Kunnen we niet gewoon vervangen? # X = k + 1 # in de formule, of mis ik hier iets?

De volgorde is:

# S_n = 1 * 2 * 3 + 2 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Dus, als we willen berekenen # S_k #, we zetten gewoon # N = k #, en krijg

# S_k = 1 * 2 * 3 + 2 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

In het geval van #S_ (k + 1) #, Ik denk dat we het gewoon kunnen vervangen # N = k + 1 #en we zullen hebben

#S_ (k + 1) = 1 + 2 * 2 * 3 * 4 + 3 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Als we dit willen uitbreiden, wordt het

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3 k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 2 + 3 k ^ 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K + ^ 3 ^ 2 + 6k 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Antwoord:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Uitleg:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Laat de verklaring waar zijn voor n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Laten we het verifiëren

n = k + 1, dan

# S_n S_ = (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "met de onmiddellijke aanduiding" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Dus, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3 + (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) 3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Geverifieerd.

Dus

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #