Hoe deel je (i + 8) / (3i -1) in trigonometrische vorm?

# (I + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Allereerst moeten we deze twee getallen omzetten in trigonometrische vormen.

Als # (A + ib) # is een complex getal, # U # is zijn omvang en # Alpha # is dan de hoek # (A + ib) # in trigonometrische vorm is geschreven als #u (cosalpha + isinalpha) #.

Grootte van een complex getal # (A + ib) # is gegeven door#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # en de hoek wordt gegeven door # Tan ^ -1 (b / a) #

Laat # R # de omvang zijn van # (8 + i) # en # Theta # zijn hoek.

Omvang van # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Hoek van # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Laat # S # de omvang zijn van # (- 1 + 3i) # en # Phi # zijn hoek.

Omvang van # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Hoek van # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Nu,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (R (Costheta isintheta +)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta isintheta +) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ ^ 2sin 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Hier hebben we alles aanwezig, maar als hier direct de waarden worden vervangen, zou het woord rommelig zijn om gevonden te worden #theta -phi # dus laten we er eerst achter komen # Theta-phi #.

# Theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

We weten dat:

# Tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((ab) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = Tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = Sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = Sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = Sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

Dit is je laatste antwoord.

Je kunt het ook op een andere manier doen.

Door eerst de complexe getallen te delen en vervolgens te veranderen in goniometrische vorm, wat veel gemakkelijker is dan dit.

Laten we eerst het gegeven nummer vereenvoudigen

# (I + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Vermenigvuldig en deel door het conjugaat van het complexe getal dat aanwezig is in de noemer, d.w.z. # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Laat # T # de omvang zijn van # (1 / 10- (5i) / 2) # en # Beta # zijn hoek.

Omvang van # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 02/01) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Hoek van # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 02/05) / (- 02/01)) = tan ^ -1 (5) = P #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.