Vraag # e8ab5

Antwoord:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Uitleg:

Ten eerste, herinner je wat #cos (x + y) # is:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Let daar op:

# (SiNx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

En:

# (Cosx + comfortabel) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Nu hebben we deze twee vergelijkingen:

# ^ Sin 2x + 2sinxsiny + 2y = sin ^ a ^ 2 #

# Cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Als we ze samen voegen, hebben we:

# ^ Sin 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Laat de grootte van deze vergelijking je niet afschrikken. Zoek naar identiteiten en vereenvoudigingen:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (+ 2sinxsiny 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Sinds # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 # (Pythagorische identiteit) en # Cos ^ 2y + 2y = sin ^ 1 # (Pythagorean Identity), we kunnen de vergelijking vereenvoudigen met:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny 2cosxcosy +) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

We kunnen een factor weglaten #2# tweemaal:

# 2 (sinxsiny cosxcosy +) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((+ sinxsiny cosxcosy) 1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

En deel:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

En trek af:

# Sinxsiny cosxcosy + = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Eindelijk, sinds #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, wij hebben:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Gegeven

# SiNx + siny = a ……. (1) #

# Cosx comfortabel + = b ……. (2) #

Squaring en adding (1) & (2)

# (cosx + gezellig) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy sinxsiny +) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Verkleinen en aftrekken (1) van (2)

# (cosx + gezellig) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + + cos2x cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Van (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + 2 + b ^ a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b + a ^ 2 ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b-2 ^ a ^ 2) / (b + a ^ 2 ^ 2) #

Antwoord:

#cos (x + y) = (b-2 ^ a ^ 2) / (b + a ^ 2 ^ 2) #.

Uitleg:

# sinx + siny = a rARr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cosy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

Het verdelen #(1)# door #(2)#, wij hebben, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Nu, #cos (x + y) = {1- tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b-2 ^ a ^ 2) / (b + a ^ 2 ^ 2) #.

Geniet van wiskunde.!