De r_ ("th") term van een geometrische reeks is (2r + 1) cdot 2 ^ r. De som van de eerste n-term van de reeks is wat?

Antwoord:

# (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Uitleg:

#S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r #

# S = sum_ {r = 1} ^ n r * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) #

# S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + … + a_ {0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4#

#+ 1 * 2^3 + 1 * 2^4#

#+ 1 * 2^4#

#S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Laten we het verifiëren

#S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots #

#S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots #

#S (0) = 1 = -2 + 3 #

#S (1) = 7 = 2 * 2 + 3 #

#S (2) = 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3 #

En #S (3) = 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3 #

Antwoord:

# (4n-2) 2 ^ n + 2, of, (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #

Uitleg:

Laat # S_n # geef het aan som van de eerste # N # voorwaarden van de volgorde

# (2r + 1) 2 ^ r #.

Dan, # S_n = sum_ (r = 1) ^ (r = n) (2r + 1) 2 ^ r #,

#:. S_n = 2 ^ 3 * 1 + 5 * 2 ^ 2 + … + (2n-1) * 2 ^ (n-1) + (2n + 1) * 2 ^ n #.

vermenigvuldigen door #2#, we krijgen, # 2S_n = 2 ^ 3 * 2 + 5 * 2 ^ 3 + … + (2n-1) * 2 ^ n + (2n + 1) * 2 ^ (n + 1) #.

#:. 2S_n-S_n = (05/03) 2 ^ 2 + (5-7) ^ 2 + 3 + … {(2n-1) - (2n + 1)} 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n + 1) kleur (rood) (- 3 * 2 ^ 1) #.

#:. S_n = (rood) (- * 2 ^ 2 1) -2 * 2 ^ 2 ^ 2-2 * 3-2 * 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n + 1) Kleur (red) (- 1 * 2 ^ 1), #

# = - 2 1 + 2 ^ 2 ^ 2 + 2 ^ 2 ^ 2 + 3 + … + 2 ^ n + (2n + 1) Kleur (blauw) (2 ^ (n + 1)) - 2 #,

# = - 2 {2- (2 ^ n-1)} / (2-1) + (2n + 1) Kleur (blauw) (2 ^ n * 2) -2 #, # = - 4 * 2 ^ n + 4 + (4n + 2) 2 ^ n-2 #.

# = 2 ^ n {-4+ (4n + 2)} + 2/4 #.

# rArr S_n = (4n-2) 2 ^ n + 2, of, S_n = (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #