De functie f (x) = sin (3x) + cos (3x) is het resultaat van een reeks transformaties waarbij de eerste een horizontale vertaling van de functie sin (x) is. Welke van deze beschrijft de eerste transformatie?

Antwoord:

We kunnen de grafiek van krijgen # Y = f (x) # van # Ysinx # door de volgende transformaties toe te passen:

• een horizontale vertaling van # Pi / 12 # radialen naar links

• een stuk mee #Os# met een schaalfactor van #1/3# units

• een stuk mee # Oy # met een schaalfactor van #sqrt (2) # units

Uitleg:

Overweeg de functie:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Laten we veronderstellen dat we deze lineaire combinatie van sinus en cosinus als één faseverschoven sinusfunctie kunnen schrijven, wat veronderstelt dat we:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

In welk geval door coëfficiënten van te vergelijken # Sin3x # en # Cos3x # wij hebben:

# Acos alpha = 1 # en # Asinalpha = 1 #

Door vierkant te zetten en toe te voegen hebben we:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Door te delen hebben we:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Zo kunnen we schrijven, #f (x) # in de vorm:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Dus we kunnen de grafiek van krijgen # Y = f (x) # van # Ysinx # door de volgende transformaties toe te passen:

• een horizontale vertaling van # Pi / 12 # radialen naar links
• een stuk mee #Os# met een schaalfactor van #1/3# units
• een stuk mee # Oy # met een schaalfactor van #sqrt (2) # units

Wat we grafisch kunnen zien:

De grafiek van # Y = sinx #:

grafiek {sinx -10, 10, -2, 2}

De grafiek van # Y = sin (x + pi / 12) #:

grafiek {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

De grafiek van # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

grafiek {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

De grafiek van # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

grafiek {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

En tot slot, de grafiek van de oorspronkelijke functie ter vergelijking:

grafiek {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}