Wat is de absolute extrema van f (x) = x / (x ^ 2 + 25) in het interval [0,9]?

Antwoord:

absoluut maximum: #(5, 1/10)#

absoluut minimum: #(0, 0)#

Uitleg:

Gegeven: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "op interval" 0, 9 #

Absolute extrema kan worden gevonden door de eindpunten te evalueren en relatieve maxima of minima te vinden en deze te vergelijken # Y #-waarden.

Eindpunten evalueren:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Zoek relatieve minima of maxima door in te stellen #f '(x) = 0 #.

Gebruik de quotiëntregel: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Laat #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Sinds # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, we hoeven alleen de teller in te stellen = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritische waarden: # x = + - 5 #

Omdat ons interval is #0, 9#, we hoeven alleen maar naar te kijken #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Gebruik de eerste afgeleide test om intervallen in te stellen om uit te zoeken of dit punt een relatief maximum of een relatief minimum is:

intervallen: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

testwaarden: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Dit betekent op #f (5) # we hebben een relatief maximum. Dit wordt het absolute maximum in het interval #0, 9#, sinds de # Y #-waarde van het punt #(5, 1/10) = (5, 0.1)# is het hoogst # Y #-waarde in het interval.

** Het absolute minimum komt op het laagste niveau voor # Y #-waarde bij het eindpunt #(0,0)**.#