Vraag # c7520

Antwoord:

Gebruik de dubbele-hoekidentiteit voor sinus en de eenheidscirkel om oplossingen voor te vinden # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, en # (3pi) / 2 #.

Uitleg:

Eerst gebruiken we de belangrijke identiteit # Sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# Sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Nu kunnen we er rekening mee houden # Costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

En met behulp van de zero-productproperty verkrijgen we oplossingen van:

# costheta = 0 "en" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Dus, wanneer wel # Costheta = 0 # op het interval # -Pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? De oplossingen kunnen worden gevonden met behulp van de eenheidscirkel en een eigenschap van de cosinusfunctie:

#cos (-theta) = costheta #

Als # Theta = pi / 2 #, dan:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Uit de eenheidscirkel weten we dat #cos (pi / 2) = 0 #, wat ook betekent #cos (-pi / 2) = 0 #; dus twee oplossingen zijn # -Pi / 2 # en # Pi / 2 #. Ook vertelt de eenheidscirkel ons dat #cos ((3pi) / 2) = 0 #, dus we hebben daar een andere oplossing.

Nu, op # Sintheta = 1/2 #. Nogmaals, we zullen de eenheidscirkel nodig hebben om onze oplossingen te vinden.

We weten uit de eenheidskring dat #sin (pi / 6) = 1/2 #, en #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, dus we voegen toe # Pi / 6 # en # (5pi) / 6 # naar de lijst met oplossingen.

Ten slotte brengen we al onze oplossingen samen: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, en # (3pi) / 2 #.

De eenheidscirkel