Laat P een willekeurig punt op de kegelsnede zijn r = 12 / (3-sin x). Laat F¹ en F² respectievelijk de punten (0, 0 °) en (3, 90 °) zijn. Laat zien dat PF¹ en PF² = 9?

Antwoord:

#r = 12 / {3-sin theta} #

We worden gevraagd om te laten zien # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, i.e. # P # veegt een ellips weg met foci # F_1 # en # F_2. # Zie het onderstaande bewijs.

Uitleg:

Laten we oplossen wat ik denk dat een typfout is en wat ik zeg #P (r, theta) # voldoet

#r = 12 / {3-sin theta} #

Het bereik van sine is # pm 1 # dus concluderen we # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

In rechthoekige coördinaten, # P = (r cos theta, r sin theta) # en # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # omdat we het al weten # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #