Stel dat je een projectiel op een voldoende hoge snelheid start om een doelwit op afstand te raken. Gegeven de snelheid 34-m / s en de afstand van het bereik is 73-m, wat zijn twee mogelijke hoeken van waaruit het projectiel kan worden gelanceerd?

Antwoord:

# Alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# Alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Uitleg:

De beweging is een parabolische beweging, dat is de samenstelling van twee bewegingen:

de eerste, horizontaal, is een uniforme beweging met de wet:

# X = x_0 + V_ (0x) t #

en de tweede is een vertraagde beweging met de wet:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

waar:

• # (X, y) # is de positie op het moment # T #;
• # (X_0, y_0) # is de beginpositie;
• # (V_ (0x), v_ (0y)) # zijn de componenten van de beginsnelheid, dat wil zeggen, voor de trigoniometriewetten:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (# Alpha # is de hoek die de vectorsnelheid vormt met de horizontaal);

• # T # het is tijd;
• # G # is zwaartekrachtversnelling.

Om de vergelijking van de beweging, een parabool, te verkrijgen, moeten we het systeem oplossen tussen de twee hierboven beschreven vergelijkingen.

# X = x_0 + V_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Laten we vinden # T # uit de eerste vergelijking en laten we substitueren in de tweede:

# T = (x-x_0) / V_ (0x) #

# Y = y_0 + V_ (0y) (x-x_0) / V_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / V_ (0x) ^ 2 # of:

# Y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (V_0 ^ ^ 2cos 2alpha) # of

# Y = y_0 + sinalpha (x-x_0) / cosalpha-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (V_0 ^ ^ 2cos 2alpha) #

Om het bereik te vinden, kunnen we aannemen:

# (X_0, y_0) # is de oorsprong #(0,0)#en het punt waarop het valt, heeft coördinaten: # (0, x) # (#X# is het bereik!), dus:

# 0 = 0 + sinalpha * (x-0) / cosalpha-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (V_0 ^ ^ 2cos 2alpha) rarr #

# X * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 2cos ^ ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ ^ 2cos 2alpha) x) = 0 #

# X = 0 # is een oplossing (het begin!)

# X = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (V_0 2sin2alpha ^) / g #

(met behulp van de dubbele hoekformule van de sinus).

Nu hebben we de rechts formule om de vraag te beantwoorden:

# Sin2alpha = (x * g) / V_0 ^ = 2 (73 * 9,8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + K360 ° ~ = 38,23 ° #

# Alpha_1 ~ = 19,12 ° #

en (de sinus heeft aanvullende oplossingen):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + K360 ° ~ 180 ° = -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# Alpha_2 ~ = 70,88 ° #.