Bewijs dat macht ingesteld is een veld?

Antwoord:

De machtreeks van een reeks is een commutatieve ring onder de natuurlijke bewerkingen van eenheid en kruising, maar geen veld onder die bewerkingen, omdat het geen inverse elementen heeft.

Uitleg:

Gezien elke set # S #, overweeg het ingestelde vermogen # 2 ^ S # van # S #.

Dit heeft natuurlijke operaties van vereniging # Uu # die zich als toevoeging gedraagt, met een identiteit #O/# en kruising # Nn # die zich gedraagt als vermenigvuldiging met een identiteit # S #.

Meer gedetailleerd:

• # 2 ^ S # is gesloten onder # Uu #

  Als #A, B in 2 ^ S # dan #A uu B in 2 ^ S #

• Er is een identiteit # O / in 2 ^ S # voor # Uu #

  Als #A in 2 ^ S # dan #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # is associatief

  Als #A, B, C in 2 ^ S # dan #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # is commutatief

  Als #A, B in 2 ^ S # dan #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # is gesloten onder # Nn #

  Als #A, B in 2 ^ S # dan #A nn B in 2 ^ S #

• Er is een identiteit #S in 2 ^ S # voor # Nn #

  Als #A in 2 ^ S # dan #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # is associatief

  Als #A, B, C in 2 ^ S # dan #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # is commutatief

  Als #A, B in 2 ^ S # dan #A nn B = B nn A #

• # Nn # is links en rechts verdelend over # Uu #

  Als #A, B in 2 ^ S # dan #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  en # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Zo # 2 ^ S # voldoet aan alle axioma's die vereist zijn om een commutatieve ring met toevoeging te zijn # Uu # en vermenigvuldiging # Nn #.

Als #S = O / # dan # 2 ^ S # heeft één element, namelijk #O/#, dus het heeft geen duidelijke additieve en multiplicatieve identiteiten en is daarom geen veld.

Anders merk dat op # S # heeft geen inverse onder # Uu # en #O/# heeft geen inverse onder # Nn #. Zo # 2 ^ S # vormt geen veld door gebrek aan inverse elementen.