Welk getal levert een irrationeel nummer op bij 1/4?

Antwoord:

Elk irrationeel aantal, b.v. #sqrt (2) #

Uitleg:

#x + 1/4 # is irrationeel als en alleen als #X# is irrationeel.

Equivalent, #x + 1/4 # is rationeel als en alleen als #X# is rationeel.

Om dit te bewijzen kunnen we als volgt verder gaan:

Stel dat eerst # X + 1/4 # is rationeel.

Dan zijn er sommige gehele getallen #p, q #, met #q> 0 # zoals dat:

# x + 1/4 = p / q #

aftrekken #1/4# van beide kanten wordt dit:

#x = p / q - 1/4 = (4p-q) / (4q) #

wat rationeel is.

Omgekeerd, als #X# is rationeel, dan zijn er gehele getallen #m, n # met #n> 0 # zoals dat #x = m / n # en we vinden:

# x + 1/4 = m / n + 1/4 = (4m + n) / (4n) #

wat ook rationeel is.