Hoe vereenvoudig ik sin (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Antwoord:

ik krijg #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Uitleg:

We hebben de sinus van het verschil, dus stap één zal de verschilhoekformule zijn, #sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Welnu, de sinus van ArcSine en de cosinus van Arccosine zijn gemakkelijk, maar hoe zit het met de anderen? Nou, we herkennen het #arccos (sqrt {2} / 2) # zoals # pm 45 ^ circ #, dus

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Ik verlaat de #p.m# er; Ik probeer de conventie te volgen dat arccos alle inverse cosinussen is, versus Arccos, de belangrijkste waarde.

Als we weten dat de sinus van een hoek is # 2x #, dat is een kant van # 2x # en een hypotenusa van #1# dus de andere kant is # Sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Nu, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #