Wat is het domein en bereik van f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Antwoord:

Domein: de hele echte regel

bereik: #-0.0757,0.826#

Uitleg:

Deze vraag kan op twee manieren worden geïnterpreteerd. Of we verwachten dat we alleen de echte regel behandelen # RR #, of anders ook met de rest van het complexe vlak # CC #. Het gebruik van #X# als variabele betekent dat we alleen met de echte regel te maken hebben, maar er is een interessant verschil tussen de twee gevallen die ik zal opmerken.

Het domein van # F # wordt het geheel van de numerieke set beschouwd als minus alle punten die ervoor zorgen dat de functie tot in het oneindige opblaast. Dit gebeurt wanneer de noemer # X ^ 2 + 4 = 0 #, d.w.z. wanneer # X ^ 2 = -4 #. Deze vergelijking heeft geen echte oplossingen, dus als we aan de echte lijn werken, is het domein het hele interval # (- oo, + oo) #. Als we de oneindige limieten van de functie beschouwen door toonaangevende termen in teller en noemer te vergelijken, zien we dat deze in beide oneindigheden naar nul neigen, en dus kunnen we als we deze aan dat interval willen toevoegen om het af te sluiten: # - oo, + oo #.

De vergelijking # X ^ 2 = -4 # heeft echter twee complexe oplossingen, #X = + - 2i #. Als we het hele complexe vlak beschouwen, dan is het domein het hele vlak minus deze twee punten: # CC # # {+ - 2i} #. Net als bij de reals, kunnen we op dezelfde manier oneindig toevoegen als we dat willen.

Om het bereik van te bepalen # F # we moeten de maximale en minimale waarden van zijn domein ontdekken. We zullen nu alleen in termen van de realen spreken, omdat het bepalen van een analogie hiervan over het complexe vlak in het algemeen een ander soort probleem is dat verschillende wiskundige hulpmiddelen vereist.

Neem de eerste afgeleide via de quotiëntregel:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

De functie # F # bereikt een extremum of een buigpunt wanneer #f '(x) = 0 #, d.w.z. wanneer # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

We lossen dit op met de kwadratische formule:

# X = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Dus de functie heeft twee van dergelijke punten.

We karakteriseren deze punten door hun waarden te bekijken bij de tweede afgeleide van # F #, die we nemen, opnieuw via de quotiëntregel:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) 3 ^ #

We weten uit onze eerste afgeleide rootberekening dat de tweede term in de teller nul is voor deze twee punten, omdat het instellen daarvan op nul de vergelijking is die we zojuist hebben opgelost om de ingangsnummers te vinden.

Dus, dat op te merken # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) 3 ^ #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Bij het bepalen van het teken van deze uitdrukking vragen we of # 26> 6sqrt (13) #. Vierkant aan beide kanten om te vergelijken: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Zo # 26-6sqrt (13) # is positief (en # 26 + 6sqrt (13) # nog meer).

Dus het teken van de hele expressie komt neer op de #bar (+) # ervoor, wat betekent dat # X = -3-sqrt (13) # heeft #f '' (x)> 0 # (en is daarom een functieminimum) en # X = -3 + sqrt (13) # heeft #f '' (x) <0 # (en is daarom een functiemaximum). Nadat we hebben opgemerkt dat de functie in de oneindigheden neigt tot nul, begrijpen we nu de vorm van de functie volledig.

Dus om het bereik te verkrijgen, moeten we de waarden van de functie berekenen op het minimum- en maximumpunt # X = -3 + -sqrt (13) #

Herhaal dat #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, en dus

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Dus over de echte lijn # RR # de functie #f (x) # neemt waarden in het bereik # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, wat als we numeriek evalueren, tot stand komt #-0.0757,0.826#, tot drie significante cijfers, verkregen bij #X# waarden #-6.61# en #0.606# (3 s.f.)

Zet de grafiek van de functie uit als een sanitaire controle:

grafiek {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Antwoord:

Domein: #x in RR #

bereik: #f (x) in -0.075693909, + 0.825693909 kleur (wit) ("xxx") # (ongeveer)

Uitleg:

Gegeven

#color (wit) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domein

De domein zijn alle waarden van #X# waarvoor #f (x) # is gedefinieerd.

Voor elke functie die wordt uitgedrukt als een polynoom gedeeld door een polynoom, is de functie gedefinieerd voor alle waarden van #X# waarbij het polynoom van de deler niet gelijk is aan nul. Sinds # X ^ 2> = 0 # voor alle waarden van #X#, # X ^ 2 + 4> 0 # voor alle waarden van #X#; dat is #x! = 0 # voor alle waarden van #X#; de functie is gedefinieerd voor alle echte (# RR #) waarden van #X#.

reeks

De reeks is een beetje interessanter om te ontwikkelen.

We merken op dat als een continue functie limieten heeft, de afgeleide van de functie op de punten die resulteren in die limieten gelijk is aan nul.

Hoewel sommige van deze stappen misschien triviaal zijn, zullen we dit proces doorwerken vanuit redelijk basisprincipes voor derivaten.

1 Exponentregel voor derivaten

Als #f (x) = x ^ n # dan # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Som-regel voor derivaten

Als #f (x) = r (x) + s (x) # dan # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Productregel voor derivaten

Als #f (x) = g (x) * h (x) # dan # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Ketenregel voor derivaten

Als #f (x) = p (q (x)) # dan # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Voor de gegeven functie #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

we merken op dat dit kan worden geschreven als #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Tegen 3 we weten het

#color (wit) ("XXX") kleur (rood) ((df (x)) / (dx)) = kleur (limoen) ((d (x + 3)) / (dx)) * kleur (blauw) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + kleur (blauw) ((x + 3)) * kleur (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Door 1 hebben we

#color (wit) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

en door 2

#color (wit) ("XXX") Kleur (lime) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = kleur (lime) (1) #

Tegen 4 hebben we

#color (wit) ("XXX") kleur (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

en door 1 en 2

#color (white) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

of, vereenvoudigd:

#color (wit) ("XXXXXXXX") = kleur (magenta) (- (2 x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

geeft ons

#color (wit) ("XXX") kleur (rood) ((df (x)) / (dx)) = kleur (groen) 1 * kleur (blauw) ((x + 4) ^ (- 1)) + kleur (blauw) ((x + 3)) * kleur (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

wat kan worden vereenvoudigd als

#color (wit) ("XXX") kleur (rood) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Zoals opgemerkt (terugweg) betekent dit dat de grenswaarden zullen optreden wanneer

#color (wit) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (wit) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

gebruik dan de kwadratische formule (zoek dit op, Socratic klaagt al over de lengte van dit antwoord)

wanneer

#color (wit) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

In plaats van de pijn te verlengen, pluggen we eenvoudig deze waarden in onze rekenmachine (of spreadsheet, en dat is hoe ik het doe) om de limieten te bereiken:

#color (wit) ("XXX") f (3-sqrt (13)) ~~ -0,075693909 #

en

#color (wit) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0,825693909 #

Antwoord:

Een eenvoudigere manier om het bereik te vinden. Het domein is #x in RR #. Het bereik is #y in -0.076, 0.826 #

Uitleg:

Het domein is #x in RR # zoals

#AA x in RR #, de noemer # X ^ 2 + 4> 0 #

Laat # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kruis vermenigvuldigen

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# Yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Dit is een kwadratische vergelijking in #X#

Er zijn oplossingen als de discriminant #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

daarom

# 1-16y ^ 2 + 12j> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

De oplossingen van deze ongelijkheid zijn

# y in (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y in -0.076, 0.826 #

grafiek {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}