Zoek f en 'bereken' de integraal?

Antwoord:

Zie hieronder

Uitleg:

# E ^ f (x) + f '(x) = 1 + 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

De IV gebruiken:

# e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #
#lim_ (x tot 0) y = + oo betekent C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

De LATEN ZIEN beetje

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx-kleur (rood) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# kleur (rood) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

#implies I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

# int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #
# int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies I lt ln (e-1) #

Antwoord:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Ik kon de ongelijkheid nog niet aantonen, maar ik vond een sterkere ongelijkheid.

Uitleg:

Laat #g (x) = e ^ (f (x)) # zodat, met behulp van de kettingregel:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

Merk nu op dat:

#f (x) = ln (g (x)) #, zo:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

Vervanging in de oorspronkelijke vergelijking hebben we:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

en zoals per definitie #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

welke scheidbaar is:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

Het eerste lid decomposeren met behulp van gedeeltelijke breuken:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g -1 / (g + 1) #

zo:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

De eigenschappen van logaritmen gebruiken:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

Nu op te lossen # G #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

en tenslotte:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

Nu:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

We kunnen bepalen # C # van de voorwaarde:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

Zoals:

#lim_ (x-> 0) c-x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

wat eindig is, tenzij # C = 0 #.

Dan:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

Beschouw nu de integraal:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

Zoals:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

we kunnen zien dat in het interval van integratie de functie strikt afneemt, dus de maximale waarde # M # komt voor # X = ln2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

Dan:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

Antwoord:

Hier is er nog een

Uitleg:

#een)#

# E ^ f (x) + f '(x) = 1 + 0 # # <=> ^ (* E ^ (- f (x)) #

# 1 + f '(x) e ^ (- f (x)) + e ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# -F (x) e ^ (- f (x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (E ^ (- f (x))) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + e ^ (- f (x))) = 1 + e ^ (- f (x)) ## <=> ^ (X> 0) #

dus er # C ##in## RR #, # 1 + e ^ (- f (x)) = x ^ ce #

#lim_ (xto0) e ^ (- f (x)) = _ (xto0, y -> - oo) ^ (- f (x) = u) lim_ (utomatisch oo) e ^ u = 0 #

en #lim_ (xto0) (- e ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) ce ^ x # #<=>#

# C = 1 #

daarom

# 1 + e ^ (- f (x)) = e ^ x # #<=>#

#E ^ (- f (x)) = e ^ x-1 # #<=>#

# -F (x) = ln (e ^ x-1) # #<=>#

#f (x) = - ln (e ^ x-1) # #color (wit) (aa) #, #x> 0 #

#b) #

# Int_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1)) dx <##ln (e-1) #

#f (x) = - ln (e ^ x-1) #,#x> 0 #

#f '(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

# -F (x) = x ^ e / (e ^ x-1)> = (x + 1) / (e ^ x-1) # zonder de ''#=#''

# Int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx # #<=>#

# Int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx <## - f (x) LN2 _ ^ 1 = -f (1) + f (0) = ln (e-1) #

Maar we hebben

# E ^ f (x) (x + 1) = e ^ (- ln (e ^ x-1)) (x + 1) = (x + 1) / (e ^ x-1) #

en dus, # Int_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx <##ln (e-1) #

Twee geladen deeltjes op (3,5, 0,5) en (-2, 1,5) hebben ladingen van q_1 = 3μC en q_2 = -4μC. Zoek a) de magnitude en richting van de elektrostatische kracht op q2? Zoek een derde lading q_3 = 4μC zodat de netto kracht op q_2 nul is?

Q_3 moet op een punt P_3 (-8.34, 2.65) worden geplaatst op ongeveer 6.45 cm afstand van q_2 tegenover de aantrekkelijke lijn van Force van q_1 tot q_2. De grootte van de kracht is | F_ (12) | = | F_ (23) | = 35 N The Physics: Het is duidelijk dat q_2 wordt aangetrokken naar q_1 met Force, F_e = k (| q_1 || q_2 |) / r ^ 2 waarbij k = 8.99xx10 ^ 9 Nm ^ 2 / C ^ 2; q_1 = 3muC; q_2 = -4muC Dus we moeten r ^ 2 berekenen, we gebruiken de afstandsformule: r = sqrt ((x_2- x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) r = sqrt ((- 2.0- 3.5) ^ 2 + (1.5-.5) ^ 2) = 5.59cm = 5.59xx10 ^ -2 m F_e = 8.99xx10 ^ 9 Ncancel (m ^ 2) / cancel (C ^ 2) ((3xx10 ^ -6 *

Julie gooit een keer een eerlijke rode dobbelsteen en een keer een eerlijke blauwe dobbelsteen. Hoe bereken je de kans dat Julie een zes krijgt op zowel de rode dobbelsteen als de blauwe dobbelsteen. Ten tweede, bereken de kans dat Julie minstens één zes krijgt?

P ("Two sixes") = 1/36 P ("Tenminste one six") = 11/36 De kans om een zes te krijgen wanneer u een eerlijke dobbelsteen gooit is 1/6. De vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B is P (AnnB) = P (A) * P (B) Voor het eerste geval krijgt gebeurtenis A een zes op de rode dobbelsteen en gebeurtenis B krijgt een zes op de blauwe dobbelsteen . P (AnnB) = 1/6 * 1/6 = 1/36 Voor het tweede geval willen we eerst de waarschijnlijkheid van het krijgen van geen zessen overwegen. De kans dat een enkele dobbelsteen niet zes werpt is duidelijk 5/6 dus met behulp van de vermenigvuldigingsregel:

Laat f een continue functie zijn: a) Zoek f (4) als _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx voor alle x. b) Zoek f (4) als _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx voor alle x?

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Maak een onderscheid tussen beide zijden. Via de Tweede Fundamental Stelling van Calculus aan de linkerkant en de product- en kettingregels aan de rechterkant, zien we dat differentiatie laat zien dat: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) Laat x = 2 toont dat f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Integreer de innerlijke term. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Evalueer. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) Laten x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4))