Wat is de afgeleide van x ^ n?

Voor de functie #f (x) = x ^ n #zou n moeten zijn niet gelijk aan 0, om redenen die duidelijk worden. n moet ook een geheel getal of een rationaal getal zijn (dat wil zeggen een breuk).

De regel is:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Met andere woorden, we "lenen" de kracht van x en maken het de coëfficiënt van het derivaat, en trekken dan 1 af van het vermogen.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Zoals ik al zei, is het speciale geval waar n = 0. Dit betekent dat

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

We kunnen onze regel gebruiken en technisch gezien krijg het juiste antwoord:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Later zullen we echter op complicaties stuiten wanneer we de inverse van deze regel proberen te gebruiken.

Antwoord:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Hieronder staan de bewijzen voor elke getallen, maar alleen het bewijs voor alle gehele getallen gebruikt de basisvaardighedenset van de definitie van afgeleide producten. Het bewijs voor alle rantsoenen gebruikt de kettingregel en voor irrationals wordt impliciete differentiatie gebruikt.

Uitleg:

Dat gezegd zijnde, ik zal ze hier allemaal laten zien, zodat je het proces kunt begrijpen. Pas op dat het #zullen# vrij lang zijn.

Van #y = x ^ (n) #, als #n = 0 # wij hebben #y = 1 # en de afgeleide van een constante is ook altijd nul.

Als # N # is een ander positief geheel getal dat we in de afgeleide formule kunnen gooien en de binomiale stelling kunnen gebruiken om de rotzooi op te lossen.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Waar # K_i # is de juiste constante

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dat verdelen # H #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

We kunnen de eerste termijn uit de som halen

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Als je de limiet neemt, gaat al het andere dat nog in de som is naar nul. Berekenen # K_1 # we zien dat het gelijk is # N #, dus

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Voor # N # dat zijn negatieve gehele getallen het is een beetje gecompliceerder. Wetende dat # x ^ -n = 1 / x ^ b #, zoals dat #b = -n # en daarom is het positief.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Schakel de eerste termijn uit

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Neem de limiet, waar # K_1 = b #, in de plaats daarvan terug naar # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Voor rationals moeten we de kettingregel gebruiken. D.w.z.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Dus dat weten # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # en aannemen #n = 1 / b # wij hebben

# (x ^ n) ^ b = x #

Als # B # is zelfs, het antwoord is technisch # | X | # maar dit is genoeg voor onze doeleinden

Dus, met behulp van de kettingregel die we hebben

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

En last but not least, met behulp van impliciete differentiatie kunnen we bewijzen voor alle reële getallen, inclusief de irrationals.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #