Wat zijn de asymptote (s) en hole (s), indien aanwezig, van f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Antwoord:

#f (x) # heeft een verticale asymptoot op # X = -1 #, een gat in # X = 1 # en een horizontale asymptoot # Y = 0 #. Het heeft geen scheve asymptoten.

Uitleg:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (wit) (f (x)) = kleur (rood) (annuleren (kleur (zwart) ((x-1)))) / (kleur (rood) (annuleren (kleur (zwart) ((x-1)))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (wit) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

met uitsluiting #x = - 1 #

Let daar op # x ^ 2 + 1> 0 # voor alle echte waarden van #X#

Wanneer # X = -1 # de noemer is nul en de teller is niet nul. Zo #f (x) # heeft een verticale asymptoot op # X = -1 #

Wanneer # X = 1 # zowel de teller als de noemer van de bepalende expressie voor #f (x) # zijn nul, maar de vereenvoudigde uitdrukking is goed gedefinieerd en continu in # X = 1 #. Er is dus een gat in # X = 1 #.

Zoals #X -> + - oo # de noemer van de vereenvoudigde uitdrukking # -> oo #, terwijl de teller constant is #1#. Vandaar dat de functie de neiging heeft #0# en heeft een horizontale asymptoot # Y = 0 #

#f (x) # heeft geen schuine (a.k.a. schuine) asymptoten. Om een rationale functie een schuine asymptoot te laten hebben, moet de teller een graad hebben die exact gelijk is aan die van de noemer.

grafiek {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}