Wat betekent sqrt (3 + i) in een + bi-vorm?

Antwoord:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Veronderstellen # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Dus stellen we echte en imaginaire delen gelijk die we krijgen:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Vandaar #b = 1 / (2a) #, die we kunnen vervangen in de eerste vergelijking om te krijgen:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Vermenigvuldig beide einden met # 4a ^ 2 # te krijgen:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Zo:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Van de kwadratische formule krijgen we:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Sinds #sqrt (10)> 3 #, kies de #+# teken om echte waarden voor te krijgen #een#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

waar # B # heeft hetzelfde teken als #een# sinds #b = 1 / (2a) #

De belangrijkste vierkantswortel staat in K1 met #a, b> 0 #

Dat is:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

In feite, als #c, d> 0 # dan kunnen we op dezelfde manier laten zien:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #