Hoe vereenvoudig je 2cos ^ 2 (4θ) -1 met behulp van een dubbele hoekformule?

Antwoord:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Uitleg:

Er zijn verschillende dubbelhoekformules voor cosinus. Gewoonlijk is de voorkeur degene die een cosinus in een andere cosinus verandert:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

We kunnen dit probleem eigenlijk in twee richtingen oplossen. De eenvoudigste manier is om te zeggen # X = 4 theta # dus we krijgen

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

wat vrij vereenvoudigd is.

De gebruikelijke manier om te gaan is om dit in termen van te krijgen # cos theta #. We beginnen met te laten # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Als we gaan zitten # x = cos theta # we zouden de achtste Chebyshev polynoom van de eerste soort hebben, # T_8 (x) #, bevredigend

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Ik vermoed dat de eerste manier waarschijnlijk was waar ze op uit waren.