Wat zijn de asymptoten en verwijderbare discontinuïteiten, indien aanwezig, van f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Antwoord:

#f (x) # heeft een horizontale asymptoot # Y = 0 # en een verticale asymptoot # X = 0 #

Uitleg:

Gegeven:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Het domein van de teller #sqrt (x) # is # 0, oo) #

• Het domein van de noemer # e ^ x - 1 # is # (- oo, oo) #

• De noemer is nul wanneer # e ^ x = 1 #, wat voor echte waarden van #X# komt alleen voor wanneer # X = 0 #

Vandaar het domein van #f (x) # is # (0, oo) #

De reeksuitbreiding van gebruiken # E ^ x #, wij hebben:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (wit) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (wit) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (wit) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Zo:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (wit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (wit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (wit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

en:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Zo #f (x) # heeft een verticale asymptoot # X = 0 # en een horizontale asymptoot # Y = 0 #

grafiek {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}