Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Kunt u dit oplossen?

Antwoord:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Uitleg:

Wij hebben:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Laat #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

We zien dat #u = -1 # is een factor. Met behulp van synthetische divisie krijgen we

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

De vergelijking # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # kan worden opgelost met behulp van de kwadratische formule.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 of -0.309 #

Sinds #cosx = u #, we krijgen #x = pi / 5, (3pi) / 5 # en #pi#.

Waar # N # is een geheel getal.

De grafiek van # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # en # y_2 = cos (3x) # bevestigt dat de oplossingen de snijpunten zijn.

Hopelijk helpt dit!

Antwoord:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Uitleg:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #of

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Eenheidscirkel en eigenschap van cos geven ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

een. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Als k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Als k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Als k = 0 -> #x = - pi / 5 #of #x = (9pi) / 5 # (Co-terminal)

Als k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

In het gesloten interval 0, 2pi zijn de antwoorden:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Controleer met de rekenmachine.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. bewezen

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. bewezen

Antwoord:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # NrarrZ #

Uitleg:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# Rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Een van beide #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # NrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # Nrarr #

Antwoord:

De algemene oplossing vereist geen drievoudige hoekformule en is

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # of # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

voor integer # K #.

Uitleg:

Ik hou niet van het lezen van andermans antwoorden voordat ik zelf een vraag heb opgelost. Maar een uitgelicht antwoord voor deze kwam ter sprake. Tijdens mijn snelle blik kon het me niet helpen op te merken dat het er vrij gecompliceerd uitzag voor wat me als een relatief eenvoudige vraag leek. Ik zal het proberen.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Ik ben een paar weken op Socratic geweest en dit komt naar voren als mijn thema: De algemene oplossing voor #cos x = cos a # is #x = pm a + 360 ^ circ k quad # voor integer # K. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

We nemen de tekens apart. Plus eerst:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus volgende.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Als je deze van dichtbij leest, denk je misschien dat ik een fout maak met de manier waarop ik manipuleer # K #. Maar sinds # K # varieert over alle gehele getallen, vervangingen zoals #k naar -k # en #k tot k + 1 # zijn toegestaan en ik schuif die binnen om de borden te houden #+# wanneer ze kunnen zijn.

Controleren:

Laten we een paar kiezen om te controleren. Ik ben nerdy genoeg om te weten #cos 36 ^ circ # is de helft van de Gulden Snede, maar ik ga deze niet precies uitwerken, laat ze gewoon in Wolfram Alpha vallen om er zeker van te zijn.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #