Los de volgende vergelijking op x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Antwoord:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #

Uitleg:

Gegeven:

# X ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #

Merk op dat dit effectief een kwadratische inch is # X ^ 4 # zoals zo:

# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #

We kunnen dit factoreren om te vinden:

# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9) #

Elk van de resterende kwartfactoren is een verschil in vierkanten, dus we kunnen gebruiken:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

vinden:

# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) #

# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3) #

De overblijvende kwadratische factoren zullen allemaal factorfactor-verschillen zijn, maar we moeten irrationele en / of complexe coëfficiënten gebruiken om enkele ervan te doen:

# x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1) #

# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i) #

# x ^ 2-3 = x ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #

# x ^ 2 + 3 = x ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i) #

Vandaar dat de nullen van het originele octic polynomial zijn:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #