Wat is de afgeleide van -sin (x)?

Het vorige antwoord bevat fouten. Hier is de juiste afleiding.

Allereerst het minteken voor een functie #f (x) = - sin (x) #, bij het nemen van een derivaat, zou het teken van een afgeleide van een functie veranderen #f (x) = sin (x) # naar een tegengestelde. Dit is een gemakkelijke stelling in de theorie van limieten: limiet van een constante vermenigvuldigd met een variabele is gelijk aan deze constante vermenigvuldigd met een limiet van een variabele. Dus, laten we de afgeleide vinden van #f (x) = sin (x) # en vermenigvuldig het met #-1#.

We moeten beginnen met de volgende verklaring over de limiet van de trigonometrische functie #f (x) = sin (x) # aangezien zijn argument neigt naar nul:

#lim_ (h-> 0) sin (u) / h = 1 #

Het bewijs hiervoor is zuiver geometrisch en is gebaseerd op een definitie van een functie #sin (x) #. Er zijn veel webbronnen die een bewijs van deze verklaring bevatten, zoals De wiskundepagina.

Met behulp hiervan kunnen we een afgeleide berekenen van #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Weergave van een verschil van gebruiken #zonde# functioneert als een product van #zonde# en # Cos # (zie Unizor, Trigonometrie - Trig Sum of Angles - Problemen 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Daarom afgeleide van #f (x) = - sin (x) # is #f '(x) = - cos (x) #.