Bewijs dat het paars gearceerde gebied gelijk is aan het gebied van de cirkel van de gelijkzijdige driehoek (geel gestreepte cirkel)?

Antwoord:

Uitleg:

Het gebied van de incircle is # Pir ^ 2 #.

Noting the right triangle with hypotenuse # R # en been # R # aan de basis van de gelijkzijdige driehoek, via trigonometrie of de eigenschappen van #30 -60 -90 # juiste driehoeken kunnen we de relatie vaststellen die # R = 2r #.

Merk op dat de tegenovergestelde hoek # R # is #30 # sinds de gelijkzijdige driehoeken #60 # hoek was in tweeën gedeeld.

Deze zelfde driehoek kan worden opgelost door de stelling van Pythagoras om aan te tonen dat de helft van de zijlengte van de gelijkzijdige driehoek is #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Nu we de helft van de gelijkzijdige driehoek onderzoeken als een rechthoekige driehoek, zien we dat de hoogte # H # van de gelijkzijdige driehoek kan worden opgelost voor in termen van # R # gebruik van de relatie #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Sinds #tan (60) = sqrt3 #, dit wordt # H / (rsqrt3) = sqrt3 # zo # H = 3r #.

Het gebied van de gelijkzijdige driehoek is dan # 1 / 2BH #, en de basis is # 2rsqrt3 # en de hoogte # 3r #. Dus, het gebied is # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Het gebied van het kleinere gearceerde gebied is gelijk aan 1/3 van het gebied van de gelijkzijdige driehoek minus de incirkel, of # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # wat gelijk is aan # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Het gebied van de grotere cirkel is # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Het gebied van het grotere gearceerde gebied is 1/3 van het gebied van de grotere cirkel minus het gebied van de gelijkzijdige driehoek, of # 1/3 (4pir 2-3r ^ ^ 2sqrt3) # wat eenvoudig te zijn # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Het totale gebied van het gearceerde gebied is dan # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = 2 ^ pir #, wat gelijk is aan het gebied van de incirkel.

Antwoord:

Uitleg:

Voor een gelijkzijdige driehoek zwaartepunt, centrum van circumcircle en orthocenter samenvallen.

Dus Radius van cicumcircle (R) en straal van incircle (r) hebben de volgende relatie

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Dit is duidelijk uit de figuur gebied van de GROTE paars gearceerde regio# = 1/3 (pir ^ 2-delta) #

En gebied van de KLEINE paarse gearceerde regio# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

waar # Delta # vertegenwoordigt het gebied van de gelijkzijdige driehoek.

Zo

#color (paars) ("TOTAAL gebied van het GROTE en KLEINE paarse gearceerde gebied" #

# = 1/3 (pir ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (pir ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

R = 2r invoegen

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> kleur (oranje) "Gebied met gele gestreepte cirkel" #