Overweeg 3 gelijke cirkels met straal r binnen een gegeven cirkel met straal R elk om de andere twee en de gegeven cirkel aan te raken zoals weergegeven in figuur, dan is het gebied met gearceerde gebieden gelijk aan?

We kunnen een uitdrukking vormen voor het gebied van de gearceerde regio, zoals zo:

#A_ "gearceerd" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

waar #A_ "center" # is het gedeelte van het kleine gedeelte tussen de drie kleinere cirkels.

Om het gebied hiervan te vinden, kunnen we een driehoek tekenen door de middelpunten van de drie kleinere witte cirkels met elkaar te verbinden. Omdat elke cirkel een straal heeft van # R #, de lengte van elke kant van de driehoek is # 2r # en de driehoek is gelijkzijdig, dus hebben hoeken van # 60 ^ o # elk.

We kunnen dus zeggen dat de hoek van het centrale gebied het gebied van deze driehoek minus de drie sectoren van de cirkel is. De hoogte van de driehoek is eenvoudig #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, dus het gebied van de driehoek is # 1/2 * basis * hoogte = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Het gebied van de drie cirkelsegmenten binnen deze driehoek is in wezen hetzelfde gebied als de helft van een van de cirkels (vanwege hoeken van # 60 ^ o # elk, of #1/6# een cirkel, zodat we het totale gebied van deze sectoren kunnen afleiden # 1/2 pir ^ 2 #.

Eindelijk kunnen we het gebied van de centrumregio uitwerken #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Aldus teruggaand naar onze oorspronkelijke uitdrukking, is het gebied van het gearceerde gebied

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Antwoord:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Uitleg:

Laten we de witte cirkels een straal geven van # R = 1 #. De centra vormen een gelijkzijdige driehoek van zijde #2#. Elke mediaan / hoogte is #sqrt {3} # dus de afstand van een top tot het zwaartepunt is # 2/3 sqrt {3} #.

Het zwaartepunt is het centrum van de grote cirkel, dus dat is de afstand tussen het midden van de grote cirkel en het midden van de kleine cirkel. We voegen een kleine straal toe van # R = 1 # te krijgen

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Het gebied dat we zoeken is het gebied van de grote cirkel minus de gelijkzijdige driehoek en de overige #5/6# van elke kleine cirkel.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

We schalen door # R ^ 2 # in het algemeen.