Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Ik vond geen zadelpunten, maar er was een minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Om de extrema te vinden, neem de gedeeltelijke afgeleide met betrekking tot #X# en # Y # om te zien of beide gedeeltelijke afgeleiden gelijktijdig kunnen gelijk zijn #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Als ze tegelijkertijd gelijk moeten zijn #0#, ze vormen een systeem van vergelijkingen:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Deze lineair stelsel van vergelijkingen, afgetrokken om te annuleren # Y #, geeft:

# 3x - 1 = 0 => kleur (groen) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => kleur (groen) (y = -2/3) #

Omdat de vergelijkingen lineair waren, was er slechts één kritiek punt, en dus slechts één extremum. De tweede afgeleide vertelt ons of het een maximum of minimum was.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Deze tweede gedeelten zijn in overeenstemming, dus de grafiek is concaaf omhoog, langs de #X# en # Y # assen.

De waarde van #f (x, y) # op het kritieke punt is (door terug te pluggen in de oorspronkelijke vergelijking):

#color (groen) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = kleur (groen) (- 1/3) #

Dus we hebben een minimum van #color (blauw) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Nu, voor de cross-derivaten om te controleren op zadelpunten die in een diagonale richting zouden kunnen zijn:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Omdat deze beide ook in overeenstemming zijn, in plaats van tegengestelde tekens te zijn geen zadelpunt.

We kunnen zien hoe deze grafiek er precies uitziet om te controleren: