Hoe vereenvoudig je (sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)?

Antwoord:

Pas een Pythagorean Identity en een paar factoringtechnieken toe om de expressie te vereenvoudigen # Sin ^ 2x #.

Uitleg:

Herinner de belangrijke identiteit van Pythagoras # 1 + 2x tan ^ = s ^ 2x #. We zullen het nodig hebben voor dit probleem.

Laten we beginnen met de teller:

# Sec ^ 4x-1 #

Merk op dat dit kan worden herschreven als:

# (Sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

Dit past in de vorm van een verschil in vierkanten, # A ^ 2 B ^ 2 = (a-b) (a + b) #, met # A = s ^ 2x # en # B = 1 #. Het factoren in:

# (Sec ^ 2 x-1) (sec ^ 2x + 1) #

Van de identiteit # 1 + 2x tan ^ = s ^ 2x #, we kunnen dat aftrekken zien #1# van beide kanten geeft ons # Tan ^ 2x = s ^ 2x-1 #. We kunnen daarom vervangen # ^ Sec 2x-1 # met # Tan ^ 2x #:

# (Sec ^ 2 x-1) (sec ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) #

Laten we de noemer eens bekijken:

# Sec ^ 4x + sec ^ 2x #

We kunnen een factor weglaten # Sec ^ 2x #:

# Sec ^ 4x + sec ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) #

We kunnen hier niet veel meer doen, dus laten we eens kijken naar wat we nu hebben:

# ((Tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

We kunnen een aantal annuleringen doen:

# ((Tan ^ 2x) annuleren ((sec ^ 2x + 1))) / ((sec ^ 2x) annuleren ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

Nu herschrijven we dit met alleen sinussen en cosinussen en vereenvoudigen:

# Tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (^ sin 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> ^ sin 2x / uitschakelen (cos ^ 2x) * annuleren (cos ^ 2 x) = sin ^ 2x #