Vraag # ba262

Antwoord:

Het bewijs is een beetje lang, maar beheersbaar. Zie hieronder.

Uitleg:

Wanneer je trig-identiteiten met breuken probeert te bewijzen, is het altijd een goed idee om eerst de breuken toe te voegen:

# Sint / (1-cost) + (1 + kosten) / sint = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> sint / (1-cost) sint / sint + (1 + kosten) / sint (1-cost) / (1-cost) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-cost) (sint)) + ((1 + kosten) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> (^ sin 2t + (1 + kosten) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

De uitdrukking # (1 + kosten) (1-cost) # is eigenlijk een verschil tussen vierkanten in vermomming:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2 B ^ 2 #

Met # A = 1 # en # B = cost #. Het evalueert naar # (1) ^ 2- (kosten) ^ 2 = 1-cos ^ # 2t.

We kunnen nog verder gaan met # 1-cos ^ # 2t. Herinner de basis identiteit van Pythagoras:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

aftrekken # Cos ^ 2x # van beide kanten zien we:

# ^ Sin 2x = 1-cos ^ 2x #

Sinds #X# is slechts een tijdelijke variabele, dat kunnen we zeggen # ^ Sin 2t = 1-cos ^ # 2t. Daarom, de # (1 + kosten) (1-cost) # wordt # Sin ^ 2t #:

# (Sin ^ 2t + sin 2t ^) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> (2t 2sin ^) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

Merk op dat sines cancel:

# (2cancel (sin 2t ^) ^ sint) / ((1-cost) annuleren ((sint))) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + kosten)) / sint #

We zijn bijna klaar. De laatste stap is om de linkerkant te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van # 1-cost # (dat is # 1 + kosten #) om gebruik te maken van de eigenschap 'verschil in vierkanten':

# (2sint) / (1-cost) (1 + kosten) / (1 + kosten) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> (2sint (1 + kosten)) / ((1-cost) (1 + kosten)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

Nogmaals, we kunnen dat zien # (1-cost) (1 + kosten) # is een verschil van vierkanten, met # A = 1 # en # B = cost #. Het evalueert naar # (1) ^ 2- (kosten) ^ 2 #of # 1-cos ^ # 2t. Dat hebben we al laten zien # ^ Sin 2t = 1-cos ^ # 2t, dus de noemer wordt vervangen:

# (2sint (1 + kosten)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + kosten)) / sint #

Sines cancel:

# (2cancel (sint) (1 + kosten)) / (annuleren (sin 2t ^) ^ sint) = (2 (1 + kosten)) / sint #

En voila, bewijs compleet:

# (2 (1 + kosten)) / sint = (2 (1 + kosten)) / sint #

Antwoord:

Laat mij proberen

Uitleg:

# LHS = sint / (1-cost) + (1 + kosten) / sint #

Inspectie van de RHS komen we vaak voor# (1 + kosten) / sint #

Zo

# LHS = (1 + kosten) / sint (sint / (1 + kosten) * sint / (1-cost) 1) #

# = (1 + kosten) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) 1) #

# = (1 + kosten) / sint (sin 2t ^ / ^ sin 2t + 1) #

# = (1 + kosten) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + kosten)) / sint = RHS #

bewezen