Laat zien dat als de polynoom f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d precies is gedeeld door g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c, dan is f (x) een perfecte kubus, terwijl g (x) is een perfect vierkant?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Gegeven #f (x) # en #G (x) # zoals

#f (x) = ax ^ 3 + 3BX ^ 2 + 3cx + d #

#G (x) = ax ^ 2 + 2BX + c #

en zo #G (x) # verdeelt #f (x) # dan

#f (x) = (x + e) g (x) #

Nu coëfficiënten groeperen

# {(d-c e = 0), (c-b e = 0), (b-a e = 0):} #

oplossen voor #abc# we krijgen de voorwaarde

# {(A = d / e ^ 3), (b = d / e ^ 2), (c = d / e):} #

en substitueren in #f (x) # en #G (x) #

#f (x) = (d (x + e) ^ 3) / e ^ 3 = (root (3) (d) (x + e) / e) ^ 3 #

#g (x) = (d (x + e) ^ 2) / e ^ 3 = (sqrt (d / e) (x + e) / e) ^ 2 #